كتاب في الأصول الهندسية كرنيليوس فان آلان فانديك

 كتاب في الأصول الهندسية كرنيليوس فان آلان فانديك      كتاب في الأصول الهندسية/الكتاب الأول الي السادس 

 مقدمة
من ويكي مصدر

الحمد الله الذي لا تحيط بدائرة علمه الأوهام. وهو المنزَّه عن مقادير الأشكال ومساحة الأجسام. أَمَّا بعدُ فيقول العبد الفقير إلى ربهِ القدير كرنيلس فان دَيْك الأميركانيُّ إنني لما رأيت افتقار المدارس في هذه البلاد إلى الكتب الهندسيَّة التي بها تتم الفائدة المقصودة منها اعتنيت إلى بترجمة هذا الكتاب المفيد وهو مشتمل على كتب اقليدس الستَّة ومضافات أخرى في تربيع الدائرة وهندسة الأجسام وأصول قياس المثلثات المستوية والكَروِيَّة. والله المسئُول أن ينفع به الطالبين ويفيد الراغبين ويجعله مخلصاً لوجهه الكريم وهو أرحم الراحمين.




نبذة تاريخية


أن الفيلسوف إقليدس صاحب كتاب الأصول الهندسية عاش في بلاد مصر ق م ٢٨٠ سنة في عصر الملك بطلميوس لاغوس. قيل ولد في الإسكندرية وقيل مولده مجهول وصار معلم العلوم التعليمية في مدرسة الإسكندرية وكثر تلاميذه ومنهم الملك بطلميوس نفسه. قيل سأله الملك يوماً ألاَ يُوجَد سبيل أسهل لمعرفة التعاليم فقال لا توجد سكَّة سلطانية لذلك. ولهُ مؤلفاتٌ في علم الهيئة والبصريَّات وأشهر مؤلَّفاته الأصول الهندسيَّة ولم تزل إلى أيامنا هذه أفضل ما صُنِّف في هذا الفنَّ. غير أنه قد دخل عليها بعض التغيرات والنقائص على تمادي الأجيال. وقد رجَّعها إلى أصلها المعلم سِمْسُون الاسكوتسيُّ ثم أضاف إليها بعض المعلمين عدَّة قضايا لكي تصير بذلك أكثر مناسبة لحال التعاليم في هذا العصر. وأحسن نُسخَها وأكثرها فائدةً النسخة التي اعتنى بها المعلم بلايفار الاسكوتسيُّ وهي المعول عليها في هذه الترجمة وبالله التوفيق

=======================


الكتاب الأول
إيضاح الاصطلاحات والعلامات

١ الهندسة علمُ موضوعه قياس المقادير. والمقدار هو كل ما لهُ واحدٌ من ثلاثة أشياء وهي طولٌ وعرضٌ وعمقٌ

٢ قد استعملت في علم الهندسة اصطلاحاتٌ شتَّى كالحد والقضية والأوليَّة والنظريَّة والعمليَّة والسابقة والتعليقة والفرع وغير ذلك مما سترى

٣ الحد هو إيضاح معنى لفظة اصطلاحيَّة. ويجب أن تكون تامَّا لا أشكال فيه وأن تكون ألفاظهُ المفردة اعتياديَّة مفهومة

٤ الأوليَّة قضية واضحة لا تقبل زيادة إيضاح كقولهم الكل أعظم من جزءه

٥ النظرية قضيَّة محتاجة إلى برهان لإثبات صحتها كقولهم أن الزوايا الثلاث من كل مثلث تعدل قائمتين

٦ البرهان المستقيم هو ما أثبت صحة قضية ويُسَمَّى أيضاً البرهان الإيجابي

٧ البرهان الغير المستقيم هو ما أثبت صحة قضية بإثبات محاليَّة فسادها، ويسمى أيضاً البرهان السلبي والتحويل إلى المحال

٨ العمليَّة هي قضية حاوية عملاً مطلوباً إتمامهُ كقولهم علينا أن نرسم خطَّاً عموداً على آخر وأن نقسم عدداً إلى اجزاء مفروضة

٩ حلُّ عمليَّةٍ هو استخراج جوابها. فإن عُبّر عن ذلك بإعدادٍ سُمّي حلاً عددياً أو بمبادئ هندسيّة فهندسيَّاً. وان تم بواسطة امتحانات فميكانكيَّاً أو صناعيَّاً

١٠ السابقة قضية استعدادية ذُكِرَت قبل أخرى لكي يُختَصَر بها برهان الاخرى ١١ الفرع نتيجة تُستنتج بالاستقامة من قضية سابقة لها

١٢ التعليقة قول مبنى على قضيَّة سبقته

١٣ الافتراض هو أن يسلم بصحة قضية لكي يبنى عليها برهان قضية اخرى

١٤ المقتضيات أو الممكنات عملياتٌ يسلّم بإمكان عملها من أول وهلةٍ

١٥ النظام هو صناعة وضع جملة براهين متتابعة على ترتيب مناسب للبحث عن صحة قضية أو فسادها أو لبرهانها للغير

١٦ التحليل هو استعلام صحة قضية بالتأخر من القضية نفسها إلى مبدإِ معلوم ويسمى أيضاً النظام التحليلي وهو المستعمل في علم الجبر والمقابلة

١٧ التركيب هو التقدم شيئاً فشيئاً من مبدإ معلوم إلى النتيجة ويسمى أيضاً النظام التركيبي وهو المستعمل في علم الهندسة

١٨ العلامات المستعملة في هذا الكتاب قد تقدم شرحها في كتاب علم الجبر والمقابلة فعليك بالمراجعة



حدود

١ النقطة شيءٌ لهُ وضع فقط وليس لهُ طول ولا عرض ولا عمق

٢ الخط طولٌ بدون عرض أو عمق

فرعٌ: نهايتا خطٍ نقطتان وموضع تقاطع خطَّين نقطة

٣ خطَّان لا يتوافقان في نقطتين منهما بدون أن يتوافقا بالكليَّة يسميان مستقيمين. وقيل أيضاً الخط المستقيم هو البعد الاقرب بين نقطتين

فرعٌ: خطان مستقيمان لا يحيطان بمساحةٍ ولا يتطابقان في جزء منهما أن لم يتطابقا بالكليَّة

٤ السطح أو البسيط ما كان لهُ طول وعرض بدون عمق فرعُ. نهايات سطحٍ خطوطٌ. وموضع تقاطع سطحين خطٌ ٥ السطح المستوي هو سطحٌ إذا فُرِضَت فيهِ نقطتان فالخط المستقيم الموصل بينهما يقع جميعه في ذلك السطح

٦ الزاوية المستقيمة البسيطة هي انفراج خطَّين مستقيمين التقيا بنقطةٍ وليسا على استقامةٍ واحدةٍ

تنبيهٌ: متى التقت زاويتان فأكثر في نقطة واحدةٍ كما يرى عند ب فكل واحدة منها تتعين بثلاثة احرفٍ اوسطها عند رأس الزاوية. فالزاوية الواقعة بين خط ا ب وخط د ب تسمى زاوية ا ب د أو د ب ا والواقعة بين د ب و س ب تسمى د ب س أو س ب د وأما الزاوية المفردة فيدَلُّ عليها بحرف واحد كالزاوية عند ي

٧ إذا قام خطٌ مستقيم على آخر مستقيم وأحدث زاويتين متساويتين على جانبيهِ فالخط القائم يسمى عموداً وكل زاويةٍ منهما قائمة

۸ الزاوية المنفرجة هي كل زاوية أكبر من قائمة

۹ الزاوية الحادَّة هي كل زاوية أصغر من قائمة

۱۰ الشكل هيئةٌ محدودة. ومساحة الشكل هي الفسيحة المنحصرة في حدوده بدون نظر إلى ماهيّة تلك الحدود

۱۱ الدائرة شكل مستو يحيط بهِ خط واحد ويسمى المحيط. وفي وسطهِ نقطةٌ جميع الخطوط المستقيمة الخارجة منها إلى المحيط متساوية

۱۲ النقطة المشار إليها تسمى مركز الدائرة

۱۳ قُطْرُ الدائرة خط مستقيم مارٌّ بمركزها ونهايتاه في محيطها

۱٤ نصف الدائرة هو الشكل المحاط بالقطر والجزء من المحيط المقطوع بالقطر

۱٥ الأشكال المستقيمة الأضلاع هي المحدودة بخطوط مستقيمة

۱٦ المثلث شكل يحيط به ثلاثة خطوط

تنبيه: المثلث المستوى هو ما أحـاط بهِ ثلاثة خطوط مستقيمة والكروي ما أحـاط بهِ ثلاثة خطوط منحنية

۱٧ ذو الأربعة الأضلاع شكل احـاط بهِ أكثر من أربعة خطوط مستقيمة

۱۸ الشكل الكثير الأضلاع ما احاط بهِ أكثر من أربعة خطوط مستقيمة

۱۹ المثلث المتساوي الأضلاع هو ما كانت أضلاعه الثلاثة متساوية

۲۰ المثلث المتساوي الساقين هو ما كان ضلعان من أضلاعهِ الثلاثة متساويين

۲۱ المثلث المختلف الأضلاع هو ما كانت أضلاعه الثلاثة غير متساوية

۲۲ المثلث القائم الزاوية هو ما كانت إحدى زواياه قائمة

۲۳ المثلث المتفرج الزاوية هو ما كانت إحدى زواياه منفرجة

۲٤ المثلث الحاد الزاوية هو ما كانت زواياهُ الثلاث حادًّة

۲٥ المربع شكل يحيط بهِ أربعة خطوط مستقيمة متساوية وكل زواياهُ قائمة

۲٦ المستطيل هو ما كانت كل زواياهُ قائمة ولكن ليس كل أضلاعه متساوية

۲٧ المعيّن ما كانت أضلاعه متساوية ولكن ليست فيهِ قائمة

۲۸ الشبيه بالمعين ما كان ضلعاه المتقابلان متساويين وليست فيهِ قائمة وأضلاعهُ الأربعة ليست متساوية

۲۹ كل ذي أربعة أضلاع غير ما ذكر يسمى منحرفاً

۳۰ الخطوط المستقيمة المتوازية هي الواقعة في سطح واحد مستوٍ ولا تلتقي ولو أخرجت في جهتيها إلى غير نهاية.
مقتضيات أو ممكنات

۱ يمكن أن يوصل بين كل نقطتين بخط مستقيم أو غير مستقيم.

۲ يمكن أن يخُرَج خطٌ مستقيم محدود على استقامتهِ في جهتيهِ إلى حدّ ما يُراد.

۳ يمكن أن تُرسَم دائرةٌ على أي مركزٍ فُرِض وعلى أي بُعدٍ فُرِض منهُ.
أوليات

۱ الأشياء المساوية لشيءٍ واحدٍ هي متساوية بعضها لبعض.

۲ إذا أضِيفَتْ أشياء متساوية إلى أشياء متساوية تكون المجموعات متساوية.

۳ إذا طُرِحَت أشياء متساوية من أشياء متساوية تكون البقايا متساوية.

٤ إذا أضِيفَتْ أشياء متساوية إلى أشياء غير متساوية تكون المجموعات غير متساوية.

٥ إذا طُرِحَت أشياء متساوية من أشياء غير متساوية تكون البقايا غير متساوية.

٦ الاشياء التي هي مضاعف شيء واحدٍ هي متساوية.

٧ الاشياء التي تعدل نصف شيء واحدٍ هي متساوية.

۸ المقادير المتطابقة أي التي تملا مساحة واحدة هي متساوية. ۹ الكل أعظم من جزءه.

۱۰ جميع الزوايا القائمة متساوية.

۱۱ إذا تقاطع خطًّان مستقيمان لا يكونان موازيين لخطٍ آخر مستقيم.



القضية الأولى.عمليَّة

علينا أن نرسم مثلثاً متساوي الأضلاع على خطٍّ مستقيم محدود مفروض

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض فعلينا أن نرسم عليه مثلثاً متساوي الأضلاع.

أجعل ا مركزاً و ا ب بعداً وارسم دائرة ب س د ثم أجعل ب مركزاً و ب ا بُعداً وارسم دائرة ا س ر (حسب ثالثة الممكنات)

ثم من س أي نقطة تقاطع الدائرتين ارسم خطًّاً إلى ا وآخر إلى ب (حسب أولى الممكنات)

فيكون ا ب س مثلثاً متساوي الأضلاع

فالنقطة ا هي مركز الدائرة ب س د ولذلك ب ا يعدل ب س وقد تبرهن أن ا س يعدل ا ب والاشياء المساوية لشيء واحدٍ هي متساوية بعضها لبعض (أوليَّة أولى)

فلذلك ب س يعدل ا س فالخطوط الثلاثة ا ب، ا س، ب س هي متساوية فيكون ا ب س مثلثاً متساوي الأضلاع وقد رسم على ا ب

وذلك ما كان علينا أن نعمله



القضية الثانية.ع

علينا أن نرسم من نقطة مفروضة خطّاً مستقيماً يعدل خطّاً أخر مستقيماً مفروضاً

لتكن ا النقطة المفروضة و ب س الخط المستقيم المفروض فعلينا أن نرسم من ا خطّاً يعدل ب س.

من النقطة المفروضة ا ارسم الخط ا ب (أولي المقتضيات)

وارسم على ا ب مثلثاً متساوي الأضلاع ا ب د (حسب ق ۱ ك ۱)

ثم أخرج د ب إلى ق و د ا إلى ي (حسب ثانية المقتضيات)

ثم اجعل ب مركزاً و ب س بعداً وارسم دائرة س غ ح (حسب ثالثة المقتضيات)

وأجعل د مركزاً و د غ بعداً وارسم دائرة غ ل ك فالخط ا ل يعدل الخط س النقطة ب هي مركز الدائرة غ س ح ولذلك ب س يعدل ب غ (حد ۱۱)

والنقطة د هي مركز الدائرة غ ك ل ولذلك الخط د ل يعدل د غ والجزء د ا يعدل الجزء د ب فالبقية ا ل تعدل البقية ب غ (أولية ثالثة)

وقد تبرهن أن ب س يعدل ب غ والاشياء المساوية لشيء واحد هي متساوية بعضها لبعض فالخط ا ل يعدل الخط ب س وقد رُسم من ا النقطة المفروضة

وذلك ما كان علينا أن نعملهُ



القضية الثالثة.ع

علينا أن نقطع من أطول خطَّين مستقيمين مفروضين جزءاً يعدل أقصرهما

ليكن ا ب اطول الخطًّين المفروضين و س أقصرهما.

فعلينا أن نقطع من ا ب جزءاً يعدل س (حسب ق ۲ ك ۱)

ثم اجعل ا مركزاً و ا ت بعداً وارسم دائرة ت ي ف (ثالثة المقتضيات)

فالجزءُ أي يعدل ا ت (حد ۱۱)

و ا ت يعدل س فلذلك أي يعدل س (أولية أولى)

وقد قطع من ا ب أطول الخطًّين المفروضين

وذلك ما كان علينا أن نعملهُ



القضية الرابعة. نظريَّة

إذا عدل ضلعا مثلثٍ ضلعَي مثلثٍ آخر والزاوية الواقعة بين ضلعي أحدهما عدلت الواقعة بين ضلعي الآخر فالضلع الثالث من الواحد يعدل الثالث من الآخر ويكون المثلثان متساويين والزاويتان الأخريان من الواحد تعدلان الأخريين من الآخر

ليكن ا ب س، د ي ف مثلثين.

والضلعان ا ب، ا س من الواحد يعدلان د ي، د ف من الآخر كل واحد يعدل نظيرهُ، والزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف، فحينئذ القاعدة ب س تعدل القاعدة المثلث ي ف.

والمثلث ا ب س يعدل المثلث د ي ف.

وبقية الزوايا أيضاً متساوية أي التي تقابلها الأضلاع المتساوية كل واحدة تعدل نظيرها.

أي ا ب س تعدل د ي ف و ا س ب تعدل د ف ي

لأنهُ إذا وُضع المثلث ا ب س على المثلث د ي ف حتى تقع النقطة ا على النقطة د، والخط ا ب على الخط د ي فالنقطة ب تقع على النقطة ي لأن ا ب يعدل د ي.

وإذا وقع ا ب على د ي، فحينئذٍ ا س يقع د ف، لأن الزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف، والنقطة س تقع على النقطة ف، لأن ا س يعدل د ف.

وقد تبرهن أن النقطة ب تقع على النقطة ي فالقاعدة ب س تقع على القاعدة ي ف وتعدلها (فرع حد ٣)

وكذلك كل المثلث ا ب س يقع على كل المثلث د ي ف ويكونان متساويين.

والزاويتان الأخريان من الواحد تقع على الأخريين من الآخر.

وكل واحدة تعدل نظيرها أي ا ب س تعدل د ي ف و ا س ب تعدل د ف ي.

وذلك ما كان علينا أن نبرهنهُ



القضية الخامسة.ن

في كل مثلث متساوي الساقين الزاويتان عند القاعدة متساويتان. وإذا أخرج الضلعان المتساويان فالزاويتان الحادثتان على الجانب الآخر من القاعدة متساويتان أيضاً

ليكن ا ب س مثلثاً متساوي الساقين أي الساق ا ب يعدل الساق ا س.

وليخرج الضلع ا ب إلى د والضلع ا س إلى ي.

فالزاوية ا ب س تعدل الزاوية ا س ب والزاوية س ب د تعادل الزاوية ب س ي

عين أي نقطة شئت في ب د كالنقطة ق مثلاً.

ومن أي أطول خطين اقطع ا غ حتى يعدل ا ق أقصرهما (حسب ق ۳ ك ۱)

وارسم الخطَّ ق س والخط غ ب.

فالخط ا ق يعدل ا غ وكذلك ا ب يعدل ا س.

فالخطان ق ا، ا س يعدلان غ ا، ا ب، وبينهما الزاوية ق ا غ المشتركة بين المثلثين ا ق س، ا غ ب فالقاعدة ق س تعدل القاعدة غ ب (حسب ق ٤ ك ۱)

والمثلث ا ق س يعدل المثلث ا غ ب فبقية الزوايا من الواحد تعدل نظيرها أي التي تحاذيها الأضلاع المتساوية أي الزاوية ا س ق تعدل ا ب غ والزاوية ا ق س تعدل ا غ ب.

وقد تقدم أن ا ق يعدل ا غ وأن ا ب يعدل ا س فالبقية ب ق تعدل البقية س غ (أولية ثالثة)

وقد تبرهن أن ق س يعدل غ ب فالضلعان ب ق، ق س يعدلان الضلعين س غ، غ ب، وتبرهن أن الزاوية ب ق س تعدل الزاوية س غ ب فالمثلث ب ق س يعدل المثلث س غ ب (ق ٤ ك ۱)

وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزوايا من الأخر أي التي تقابلها الأضلاع المتساوية أي الزاوية ق ب س تعدل الزاوية غ س ب والزاوية ب س ق تعدل الزاوية س ب غ، وقد تبرهن أن كل الزاوية ا س ق تعدل الكل ا ب غ، وأن الجزء ب س ق يعدل الجزء س ب غ، فالبقية ا س ب تعدل البقية ا ب س وهما الزاويتان عند قاعدة المثلث ا ب س، وقد تبرهن أن الزاوية ق ب س تعدل غ س ب وهما الزاويتان على الجانب الأخر من القاعدة.

وذلك ما كان علينا ان نبرهنه

فرع: إذ ذاك يكون كل مثلث متساوي الاضلاع متساوي الزوايا أيضاً



القضية السادسة.ن

إذا كانت زاويتان من مثلثٍ متساويتين فالضلعان اللذان يقابلانها هما متساويان أيضاً ليكن ا ب س مثلثاً لهُ زاويتان ا ب س، ا س ب متساويتان فضلعاهُ ا ب، ا س هما متساويان أيضاً

وإلا فأحدهما أطول من الاخر. فلنفرض ا ب أطولهما ولنقطع منهُ جزءاً د ب يعدل ا س أقصرهما (ق ٣ ك ١)

فلنا في المثلثين د ب س، ا ب س ضلعٌ من الوّاحد د ب يعدل ضلعاً من الآخر ا س، والقاعدة ب س مشتركة بينهما فالضلعان د ب، ب س يعدلان ا س، س ب كل واحدٍ نظيرَهُ.

والزاوية د ب س تعدل ا س ب فالقاعدة د س تعدل القاعدة ا ب والمثلث د ب س يعدل المثلث ا ب س (ق ٤ ك ١)

أي الأصغر يعدل الأكبر وذلك محال فلا يمكن ان يكون ا ب، ا س غير متساويين بل هما متساويان.

وذلك ما كان علينا أن نبرهنه

فرعٌ. كل مثلث متساوي الزوايا هو متساوي الأضلاع أيضاً



القضية السابعة.ن

لا يكون على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان في طرف واحد من القاعدة متساويان والمنتهيان في طرفها الآخر متساويان أيضاً

ليكن ا س ب، ا د ب مثلثين على قاعدة واحدة ا ب وعلى جانب واحد منهما والضلعان ا س، ا د المنتهيان في ا متساويان المنتهيان في ب الطرف الآخر من القاعدة لا يكونان متساويين

ارسم الخطّ س د (حسب أولى الممكنات)

فإذا كان ب س، ب د متساويين وكان رأس أحد المثلثين خارج الاخر فلنا ا س، ا د متساويان فالزاوية ا س د تعدل الزاوية ا د س (حسب ق ٥ ك ١)

والزاوية ا س د أنما هي أكبر من الزاوية ب س د، فالزاوية ا د س أيضاً أكبر من ب س د، وبالأحرى الزاوية ب د س أكبر من ب س د وعلى ما فُرِض أن س ب يعدل د ب فالزاوية ب د س تعدل ب س د (ق ٥ ك ١) وقد تبرهن أنها أكبر ب س د

ثم إذا وقع رأس أحد المثلثين مثل د داخل الآخر ا س ب.

فاخرج ا س إلى ي واخرج ا د إلى ق فيما أن ا س، ا د متساويان فالزاويتان ي س د، ق د س على الجانب الآخر من القاعدة س د هما متساويتان (ق ٥ ك ١)

والزاوية ي س د إنما هي أكبر من الزاوية ب س د فالزاوية ق د س أيضاً أكبر من ب س د وبالأحرى ب د س أكبر من ب س د وإذا كان ب د، ب س متساويين فالزاوية ب د س تعدل الزاوية ب س د (ق ٥ ك ١)

وقد تبرهن أن ب د س أكبر من ب س د وذاك محال.

وهكذا إذا وقع رأس أحد المثلثين بجانب الآخر فلا يمكن أن يكون على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان إلى طرف واحد من القاعدة متساوين والمنتهيان إلى طرفها الآخر متساويان أيضاً



القضية الثامنة.ن

إذا عدل ضلعا مثلثٍ ضلعي مثلثٍ آخر وكانت القاعدتان متساويتين أيضاً فالزاوية الحادثة بين ضلعي الواحد تعدل الحادثة بين ضلعي الآخر

ليكن ا ب س، د ي ف مثلثين والضلعان ا ب، ا س يعدلان د ي، د ف كل واحد يعدل نظيره.

والقاعدة ب س تعدل القاعدة ي ف فالزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف

لأنهُ إذا وضع المثلث ا ب س على المثلث د ي ف حتى تقع النقطة ب على والنقطة ي والخطّ ب س على الخطّ ي ف فالنقطة س تقع على النقطة ف لأن الخط ب س يعدل ي ف وإذ ذاك فالخط ب ا يقع على الخط ي د والخط ا س يقع على د ف، وإلا فلنفرض وقوعهما على ي ر، ر ف فعندها ذلك يكون على قاعدة واحدة وعلى جانبٍ واحدٍ منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان في طرف واحد من القاعدة متساويان والمنتهيان في طرفها الآخر متساويان أيضاً وذلك لا يمكن (ق ٧ ك ١)

فإذا طبق ب س على ي ف فالخطان ب ا، ا س يطبقان على ي د، د ف والزاوية ب ا س تطبق على الزاوية ي د ف وتعدلها (أولية ٨)

وذلك ما كان علينا أن نبرهنه



القضية التاسعة.ع

علينا أن ننصّف زاوية بسيطة مستقيمة مفروضة أي أن نقسمها إلى قسمين متساويين

ليكن ب ا س الزاوية المفروض أن ننصفها عيّن أيَّة نقطة شئت في الخط ا ب كالنقطة د من ا س أطول خطَّين اقطع جزاءً ا ي حتى يعدل ا د أقصرهما (ق ٣ ك ١)

ارسم الخطَّ د ي وأبنِ عليهِ مثلثاً متساوي الأضلاع د ق ي (ق ١ ك ١)

وارسم الخط ا ق فهو ينصَّف الزاوية ب ا س

لأن الخط ا د يعدل الخط ا ي والخط ا ق مشترك بين المثلثين د ا ق، ي ا ق فالضلعان د ا، ا ق يعدلان الضلعين ي ا، ا ق كل واحد يعدل نظيرهُ.

والقاعدة د ق تعدل القاعدة ق ي فالزاوية د ا ق تعدل الزاوية ي ا ق (ق ٨ ك ١)

فقد تنصف الزاوية ب ا س بالخط ا ق المستقيم.

وذلك ما كان علينا أن نعملهُ تعليقة. على هذه الكيفية تنصف كلا النصفين ذ ا ق، ي ا ق وعلى هذا النسق يقسم زاوية مفروضة إلى أربعة أو ثمانية أجزاء أو إلى ستة عشر جزاءً متساوية وهلمَّ جرَّا



القضية العاشرة.ع

علينا أن ننصف خطَّاً مستقيماً محدوداً مفروضاً أي أن نقسمه إلى قسمين متساويين

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض علينا أن ننصفه

أرسم على الخط ا ب مثلثاً متساوي الأضلاع ا س ب (ق ١ ك ١)

ونصف الزاوية ا س ب بالخط المستقيم س د (ق ٩ ك ١)

فالخط ا ب قد انتصف في النقطة د

فلأن الخط ا س يعدل س ب والخط س د مشترك بين المثلثين ا س د ب س د فالضلعان ا س س د يعدلان الضلعين ب س س د والزاوية ا س د تعدل الزاوية ب س د فلذلك القاعدة ا د تعدل القاعدة ب د (ق ٤ ك ١)

فقد انتصف الخط ا ب في النقطة د

وذلك ما كان علينا أن نعملهُ



القضية الحادية عشرة.ع

علينا أن نرسم من نقطة مفروضة في خط مستقيم محدود مفروض خطاً مستقيماً يُحدِث مع الأول زاويتين قائمتين

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض و س النقطة المفروضة فيهِ.

فعلينا أن نرسم من النقطة س خطاً مستقيماً يحدث مع ا ب قائمتين

عَيِّنْ أيَّة نقطة شيئت في ا س كالنقطة د مثلاً ومن س ب اقطع جزاءس ي حتى يعدل س د (ق ٣ ك ١)

وعلى د ي ابنِ مثلثاً متساوي الاضلاع (ق ١ ك ١)

د ق ي ثم ارسم الخط ق س فهو يحدث مع ا ب قائمتين

فلأنَّ د س يعدل ي س والخط ق س هو مشترك بين المثلثين د س ق، ي س ق فالضلعان د س، س ق يعدلان الضلعين ي س، س ق كل واحد يعدل نظيره.

والقاعدة د ق تعدل القاعدة ي ق فالزاوية د س ق تعدل الزاوية ي س ق (ق ٨ ك ١) وهما متواليتان.

وإذا قام خط مستقيم على آخر مستقيم وجعل الزاويتين المتواليتين متساويتين فكل واحدة منهما قائمة (حد ٧)

فكل واحدة من د س ق، ي س ق قائمة.

فقد رُسِمَ من النقطة المفروضة س خطٌ ق س وهو يحدث مع ا ب قائمتين

وذلك ما كان علينا أن نعملهُ



القضية الثانية عشرة.ع

علينا أن نرسم خطاً عمودياً على خط مستقيم مفروض غير محدود وذلك من نقطة مفروضة خارج ذلك الخط

ليكن ا ب خطَّاً مستقيماً يمكن إخراجه إلى جهتيهِ إلى غير نهاية.

ولتكن س نقطةً خارجهُ فعلينا أن نرسم من س خطاً عمودياً على ا ب

عَيِّنْ أية نقطة شيئت على الجانب الآخر من ا ب مثل د ثم اجعل س مركزاً و س د بعداً وارسم الدائرة ي غ ق (ثالثة الممكنات) التي تقطع ا ب في النقطتين غ و ق.

نصّف ق غ في ح (ق ١٠ ك ١) ثم ارسم س ح فهو عمودي على ا ب.

ارسم س ق، س غ ولأن ق ح يعدل ح غ والخط س ح مشترك بين المثلثين ق ح س، غ ح س فالضلعان ق ح، ح س يعدلان الضلعين غ ح، ح س كل واحد يعدل نظيره.

والقاعدة س ق تعدل القاعدة س غ (حد ١١)

فالزاوية ق ح س تعدل الزاوية غ ح س (ق ٨ ك ١) وهما متواليتان.

فالخط س ح عمودي على ا ب (حد ٧)

وقد رُسِم من النقطة المفروضة س

وذلك ما كان علينا أن نعملهُ
القضية الثالثة عشرة.ن

الزاويتان الحادثتان من وقوع خط مستقيم على آخر مستقيم على جانب واحد منه هما قائمتان أو تعدلان قائمتين

ليقع الخط المستقيم ا ب على الخط المستقيم د س حتى تحدث الزاويتان ا ب د، ا ب س فهما قائمتان أو تعدلان قائمتين

فإذا كان ا ب د، ا ب س متساويتين فهما قائمتان (حدّ ٧)

وإلا فمن النقطة ب ارسم الخط ب ي عمودياً على د س (ق ۱۱ ك ۱)

فالزاويتان ي ب د، ي ب س قائمتان، والزاوية س ب ي تعدل س ب ا مع ا ب ي

أضف إلى كل واحدة منهما ي ب د فالزاويتان س ب ي، ي ب د تعدلان الثلاث زوايا س ب ا، ا ب ي، ي ب د (أولية ۲)

والزاوية د ب ا تعدل د ب ي مع ي ب ا أضف إلى كل واحدة منهما ا ب س فالزاويتان د ب ا، ا ب س تعدلان الثلاث د ب ي، ي ب ا، ا ب س

وقد تبرهن أن د ب ي، س ب ي تعدل هذه الثلاث زوايا أيضاً.

والأشياء المساوية لشيء واحد هي متساوية بعضها لبعض (أولية ۱)

أي الزاويتان س ب ي، د ب ي تعدلان الزاويتين د ب ا، ا ب س ولكن س ب ي، ي ب د هما قائمتان فالزاويتان د ب ا، ا ب س تعدلان قائمتين

فرعٌ. مجتمع جميع الزاويا الحادثة على جانب واحد من د س يعدل قائمتين لأنه يعدل مجتمع د ب ا، ا ب س



القضية الرابعة عشرة.ن

إذا وقع خطَّان مستقيمان على نقطة واحدة من خطٍّ آخر مستقيم عن جانبيهِ واحدثا زاويتين متواليتين تعدلان قائمتين فالخطَّان على استقامة واحدة كأنَّها خطٌّ واحدٌ

ليقع خطَّان س ب، د ب على النقطة ب من الخط ا ب من جانبيه وليحدثا زاويتين متواليتين تعادلان قائمتين ا ب س، ا ب د فالخطان س ب، ب د على استقامة واحدة كإنهما خط واحد

وإلا فارسم ب ي حتى يكون س ب، ب ي على استقامة واحدة فالخط المستقيم ا ب الواقع على خط اخر مستقيم س ي على جانب واحد منه يحدث زاويتين ا ب س، ا ب ي تعادلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱)

ولكن قد فُرِض أن ا ب س، ا ب د تعادلان قائمتين فالزاويتان ا ب س، ا ب ي تعدلان ا ب س، ا ب د أطرح الزاوية المشتركة ا ب س فالباقية ا ب ي تعدل الباقية ا ب د (أولية ۳)

أي الجزء يعدل الكل وذاك محال فلا يمكن أن يكون س ب، ب ي على استقامة واحدة.

وهكذا في كل خط غير ب د فالخطان س ب، ب د المحدثان مع ا ب زاويتين تعدلان قائمتين هما على استقامة واحدة

وذلك ما كان علينا أن نبرهنه



القضية الخامسة عشرة.ن

إذا تقاطع خطَّان مستقيمان فالزوايا المتقابلة متساوية

ليكن ا ب خطَّا مستقيماً فالزاوية س ي ا تعدل ا ي د

لأنّ الزاويتين س ي ا، ا ي د الحادثتين من وقوع على س د تعدلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱) و ا ي د، د ي ب الحادثتان من وقوع د ي على ا ب أيضاً تعدلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱)

فالزاويتان س ي ا، ا ي د تعدلان ا ي د، د ي ب اطرح المشتركة ا ي د فالباقية س ي ا تعدل الباقية د ي ب (أولية ۳)

وهكذا أيضاً يبرهن أن س ي ب تعدل ا ي د

فرع أوّلٌ. يتضح من هذه القضية ان مجتمع جميع الزوايا الحادثة من تقاطع خطَّين مستقيمين يعدل أربع زوايا قائمة

فرعُ ثانٍ. مجتمع الزوايا الحادثة من تقاطع خطوط مستقيمة في نقطة واحدة يعدل أربع زوايا قائمة



القضية السادسة عشرة.ن

إذا اخرِجَ ضلع من مثلث فالزاوية الخارجة الحادثة من ذلك هي أكبر من إحدى الداخلتين المتقابلتين

ليكن ق ب س مثلثاً وليخرج الضلع ب س إلى د فالزاوية الخارجة ق س د هي أكبر من إحدى الداخلتين المتقابتين س ب ق، ب ق س نصّف ق س في ي (ق ۲ ك ۱) ارسم ا س واخرج ق س إلى غ

فلأن ق ي يعدل ى س و ب ي يعدل ي ا فالخطَّان ق ي، ي ب يعدلان ا ي، ي س كل واحد يعدل نظيره.

والزاوية ق ي ب تعدل ا ي س (ق ۱٥ ك ۱)

فالقاعدة ق ب تعدل القاعدة ا س (ق ٤ ك ۱)

والمثلث ق ي ب يعدل المثلث ا ي س وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزاوية ي س ا والزاوية ي س د أو ق س د هي أكبر من ي س ا فهي إيضاً أكبر من ب ق ي أو ب ق س

وعلى هذا النسق إذا نُصِّف ب س يبرهن أن الزواية ب س غ أو ق س د (ق 15 ك 1) هي أكبر من ق ب س
القضية السابعة عشرة.ن

زاويتان من مثلث هما معاً أصغر من قائمتين

ليكن ا ب س مثلثاً فزاويتان منه معاً أصغر من قائمتين

أخرج ب س إلى د فالزاوية الخارجة ا س د هي أكبر من الداخلة ا ب س (ق ١٦ ك ١)

أضف إلى كل واحدة منهما ا س ب فالزاويتان ا س د، ا س ب معاً أكبر من ا ب س، ا س ب معاً ولكن ا س ب معاً تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١)

وإذ ذاك فالزاويتان ا ب س، ا س ب معاً أصغر من قائمتين.

وعلى هذا الأسلوب يبرهن أن ب ا س، ا س ب معاً و س ا ب، ا ب س معاً أصغر من قائمتين.



القضية الثامنة عشرة.ن

الضلع الأطول من كل مثلث تقابلهُ الزاوية الكبرى

ليكن ا ب س مثلثاً وليكن الضلع ا س أطول من الضلع ا ب فتكون الزاوية ا ب س أكبر من الزاوية ب س ا

من ا س أقطع ا د حتى يعدل ا ب (ق ٣ ك ١)

وارسم ب د ففي المثلث د ب س الزاوية الخارجة ا د ب هي أكبر من الداخلة د س ب ولكن ا د ب تعدل (ق ٥ ك ١)

فالزاوية ا ب د أيضاً أكبر من د س ب وبالأحرى ا ب س أكبر من د س ب أي ا س ب



القضية التاسعة عشرة.ن

الزاوية الكبري من كل مثلث يقابلها الضلع الأطول ليكن ا ب س مثلثاً ولتكن الزاوية ا ب س أكبر من ا س ب فيكون الضلع ا س أطول من ا ب، وإلا فالضلع ا س يعدل ا ب، أو هو أقصر منه ولا يمكن أن يعدل ا ب لإنه عند ذلك كانت الزاويتان ا س ب، ا ب س متساويتين (ق ٥ ك ۱)

وقد فرض أن ا ب س أكبر من ا س ب ولو كان أقصر لكانت ا ب س أصغر من ا س ب (ق ۱۸ ك ۱)

فبالضرورة يكون ا س أطول من ا ب




القضية العشرون.ن


ضلعان من مثلث هما معاً أطول من ضلعهِ الثالث

ليكن ا ب س مثلثاً فضلعان منه معاً أطول من ضلعه الثالث.

أي الضلعيان ب ا، ا س معاً أطول من ب س و ا ب، ب س معاً أطول من ا س و ب س، س ا معاً أطول من ا ب

أخرج ب ا إلى د واجعل ا د يعدل ا س (ق ۲ ك ۱)

وارسم د س فيما أكبر من ا س د فهي أيضاً أكبر من ا د س فيكون الضلع ب د أطول من ب س (ق ۱۹ ك ۱)

ولكن ب د يعدل ب ا مع ا س فالضلعان ب ا، ا س معاً هما أطول من ب س وهكذا في كل ضلعين من المثلث

تعليقة. يبرهن ذلك بدون أخراج ضلعٍ من المثلث لأن ب س هو البعد الأقرب بين النقطة ب والنقطة س فيكون ب س أقصر من ب ا، ا س أي ب ا، ا س معاً أطول من ب س




القضية الحادية والعشرون.ن


إذا رُسِمَ من طرفَي ضلع مثلث خطان مستقيمان إلى نقطة داخل المثلث فهما أقصر من ضلعَي المثلث الآخرين ولكن يحيطان بزاوية أكبر من التي بين الآخرين

ليكن ا ب س مثلثاً. ولُيرسَم من طرفَي ب س خطان إلى النقطة د داخل المثلث مثل ب د، س د فهما أقصر من ب ا، ا س ولكن الزاوية ب د س هي أكبر من ب ا س. أخرج ب د إلى ي. فالضلعان ب ا أي معاً من المثلث ب ا ي هما أطول من ب ي (ق ۲۰ ك ۱)

أضف لهما ي س فالضلعان ب ا، ا س أطول من ب ي، ي س وفي المثلث س ي د الضلعان س ي، ي د هما أطول من س د.

أضف لهما د ب فالضلعان س ي، ي ب معاً أطول من س د، د ب.

وقد تبرهن أن ب ا، ا س هما معاً أطول من ب ي، ي س فالبلأحرى ب ا، ا س أطول من ب د، د س ثم الزاوية الخارجة ب د س من المثلث س د ي هي أكبر من الداخلة س ي د (ق ۱٦ ك ۱)

ولذات هذا السبب س ي د هي أكبر من ي ا ب أو س ا ب وقد تبرهن أن س د ب هي أكبر من س ي ب فبالأحرى هي أكبر من س ا ب




القضية الثانية والعشرون.ن


علينا أن نرسم مثلثاً اضلاعهُ تعدل ثلاثة خطوط مستقيمة مفروضة وكل اثنين منها معاً أطول من الثالث

ليكن ا و ب و س الخطوط المستقيمة المفروضة كل اثنين منها معاً أطول من الثالث. فعلينا أن نرسم مثلثاً أضلاعه تعدل هذه الخطوط الثلاثة

خذ خطًّا مستقيماً ينتهي في نقطة د وغير محدود من جهة ي واقطع منه د ق حتى يعدل ا (ق ۳ ك ۱)

و ق غ حتى يعدل ب و غ ح حتى يعدل س ثم أجعل ق مركزاً و ق د بعداً (ثالثة الممكنات)

وارسم دائرة د ك ل واجعل غ مركزاً و غ ح بعداً وارسم دائرةك ح ل (ثالثة الممكنات)

ومن ك أي نقطة تقاطع الدائرتين ارسم ك ق، ك غ فالمثلث ق ك غ هو المطلوب وأضلاعه تعدل الخطوط الثلاثة المفروضة ا و ب و س.

فقد جعلنا ق غ حتى يعدل ب ومن حيث أن النقطة ق هي مركز الدائرة د ك ل فالخط ق ك يعدل ق د (حد ۱۱) ولكن ق د يعدل فالخط ق ك يعدل ا أيضاً.

ومن حيث أن النقطة غ هي مركز الدائرة ك ح ل فالخط غ ح يعدل غ ك (حد ۱۱) ولكن غ ح يعدل س ولذلك غ ك يعدل س أيضاً فقد رُسِم مثلث أضلاعه تعدل ثلاثة خطوط مستقيمة مفروضة

تعليقة. لو كان أحد الأضلاع أطول من مجتمع الآخرين لما تقاطعت الدائرتان والقضية صحيحة كل ما كان مجتمع ضلعين أطول من الثالث



القضية الثالثة والعشرون.ن

علينا أن نرسم من نقطة مفروضة في خط مستقيم مفروض زاوية مستقيمة بسيطة حتى تعدل زاوية اخرى مسقيمة بسيطة مفروضة

ليكن ا س الخط المستقيم المفروض و ا النقطة المفروضة منه و د س ي الزاوية البسيطة المفروضة فعلينا أن نرسم من النقطة ا زاوية بسيطة تعدل د س ي. في س د عيّن أية نقطةٍ شئت مثل د. كذلك عين ي في س ي. أرسم د ي وارسم المثلث ا ق غ حتي يعدل المثلث س د ي (ق ۲۰ ك ۱) أي الضلع ا ق يعدل س د والضلع ا غ يعدل س ي والضلع ق غ يعدل د ي فيما أن الضلعين ق ا، ا غ يعدلان د س، س ي والقاعدة ق غ تعدل القاعدة د ي فالزاوية ق ا غ تعدل الزاوية د س ي (ق ٨ ك ۱) وقد رُسِمت من النقطة ا في الخط المفروض ا س
القضية الرابعة والعشرون.ن

في مثلثين إذا عدل ضلعان من الواحد ضلعَين من الاخر وكانت الزاوية الحادثة بين ضلعَي الاول أكبر من الحادثة بين ضلعَي الاخر فالذي لهُ الزاوية الكبري لهُ أيضاً القاعدة الطولي

ليكن ا ب س، د ي ف مثلثين ولنفرض أن الضلع ا بيعدل د ي والضلع ا س يعدل د ف ولكن الزاوية ب ا س أكبر من ي د ف فتكون القاعدة ب س أطول من القاعدة ي ف

ليكن د ف أطول من د ي ومن النقطة د ارسم الزاوية ي د غ حتى تعدل ب ا س (ق ٢٣ ك ١) واجعل د غ حتى يعدل ا س أو د ف ارسم ي غ، ف غ

فمن حيث أن ا ب يعدل القاعدة ي غ (ق ٤ ك ١) ومن حيث أن د ف يعدل د غ فالزاوية د ف غ تعدل د غ ف (ق ٥ ك ١)

ولكن الزاوية د غ ف هي أكبر من ي غ ف فتكون د ف غ أيضاً أكبر من ي غ ف فكم بالأحرى تكون ي غ ف أكبر من ي غ ف وفي المثلث ي غ ف فمن حيث أن الزاوية ي ف غ هي أكبر من ي غ ف فيكون الضلع ي غ أطول من ي ف (ق ١٩ ك ١) ولكن ي غ يعدل ب س فالقاعدة ب س أطول من القاعدة ي ف




القضية الخامسة والعشرون.ن


إذا عدل ضلعا مثلثٍ ضلعَي مثلثٍ آخر ولكن كانت قاعدة احدهما أطول من قاعدة الآخر فالزاوية الكبرى هي لذي القاعدة الطولى ليكن ا ب س، د ي ف مثلثين ولنفرض أن ضلعين من الواحد ا ب، ا س عدلا ضلعين من الاخر د ي، د ف ولكن القاعدة ب س أطول من القاعدة ي ف فتكون الزاوية ب ا س أكبر من الزاوية ي د ف وإلاَّ فإما أن تعدلها أو تكون أصغر منها فالزاوية ب ا س لا تعدل ي د ف لأنه عند ذلك كانت القاعدة ب س تعدل القاعدة ي ف (ق ٤ ك ١)

وقد فرض ب س الأكبر ولا يمكن أن تكون أصغر منها لانه عند ذلك كانت القاعدة ب س أصغر من ي ف (ق ٢٤ ك ١) وقد فرض ب س أكبر وقد تبرهن أنها لا تعدلها فبالضرورة تكون الزاوية ب ا س أكبر من الزاوية ي د ف



القضية السادسة والعشرون.ن

إذا عدلت زاويتان من مثلثٍ زاويتين من مثلثٍ آخر أي كل واحدة عدلت نظيَرها. وضلعٌ من الواحد عدل ضلعاً من الآخران كانا المتواليين للزوايا المتساوية أو المتقابلَين لها فالضلعان الاخران من الواحد يعدلان الاخرين من الآخر والزاوية الثالثة من الواحد تعدل الثالثة من الآخر ب ا س تعدل الثالثة من الآخر ي د ف

وان لم يكن ا ب و د ي متساويين فبالضرورة يكون أحدهما أطول من الاخر فلنفرض ا ب الأطول ولنفصل منه ب غ حتى يعدل د ي (ق ٣ ك ١)

ولنرسم غ س فمن حيث أن غ ب يعدل د ي و ب س يعدل ي ف فالضلعان غ ب، ب س يعدلان الضلعين د ي، ي ف كل واحد يعدل نظيره والزاوية غ ب س تعدل د ي ف فالقاعدة غ س تعدل القاعدة د ف (ق ٤ ك ١)

والمثلث غ ب س يعدل المثلث د ي ف وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزوايا من الآخر كل واحدة تعدل نظيرها أي التي تقابلها الاضلاع المتساوية.

فالزاوية غ س ب تعدل ا س ب أي الأصغر يعدل الأكبر وذاك محال فلا يمكن أن يكون ا ب و د ي غير متساويين أي هما متساويان و ب س يعدل ي ف فالضلعان ا ب، ب س يعدلان الضلعين د ي، ي ف والزاوية ا ب س تعدل د ي ف فالقاعدة ا س تعدل القاعدة د ف (ق ٤ ك ١) والزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف

ثم لنفرض مساواة الضلعين اللذين يقابلان الزاويا المتساوية في كلا المثلثين يعني أن ا ب يعدل د ي فعلى هذا المفروض أيضاً لنا مساواة بقية الاضلاع يعني ا س يعدل د ف و ب س يعدل ي ف والزاوية الثالثة من الواحد ب ا س تعدل الثالثة من الآخر ي د ف فإن لم يكن ب س و ي ف متساويين فليكن ب س أطولهما.

أفصل منه ب ح حتى يعدل ي ف (ق ٣ ك ١) وارسم ا ح فمن حيث أن ب ح يعدل ي ف و ا ب يعدل د ي فالضلعان ا ب، ب ح يعدلان الضلعين د ي، ي ف والزاوية ا ب ح تعدل د ي ف فالقاعدة ا ح تعدل القاعدة د ف (ق ٤ ك ١) والمثلث ا ب ح يعدل المثلث د ي ف وبقية الزوايا أيضاً متساوية أي التي تقابلها الاضلاع المتساوية فالزاوية ب ح ا تعدل ي ف د ولكن ي ف د تعدل ب س ا فالزاوية ب س ا تعدل ب ح ا أي الزاوية الخارجة ا ح ب تعدل الداخلة المتقابلة ا س ب وذلك لا يمكن (ق ١٦ ك ١) فلا يمكن أن يكون ب س و ي ف غير متساويين أي هما متساويان و ا ب يعدل د ي فالضلعان ا ب، ب س يعدلان د ي، ي ف والزاوية ا ب س تعدل د ي ف فالقاعدة د ف والزاوية الثالثة ب ا س تعدل الثالثة ي د ف



القضية السابعة والعشرون.ن

إذا وقع خطٌّ مستقيم على خطين آخرين مستقيمين وجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين فالخطان متوازيان

ليقع الخط المستقيم ي ق على الخطين المستقيمين ا ب، س د وليجعل معهما الزاويتين المتبادلتين ا ي ق، ي ق د متساويتين فالخطان ا ب، س د متوازيان

وإلاَّ فليتقيان إذا أخرجا. فلنفرض التقائهما في النقطة غ ي ق مثلثاً وزاوية الخارجة ا ي ق تكون أكبر من الداخلة المتقابلة ي ق غ (ق ١٦ ك ١)

وقد فرض مساواتها فلا تكون أحداهما أكبر من الآخرى فلا يلتقي ا ب و س د إذا أخرجا إلى جهة ب و د وهكذا يبرهن أنهما لا يلتقيان إذا أخرجا إلى جهة ا و س فهما إذاً متوازيان (حد ٣٠)



القضية الثامنة والعشرون.ن

إذا وقع خطٌّ مستقيم على خطين مستقيمين واحدث زاويةً خارجةً تعدل الداخلة المتقابلة على جانب واحد منهُ أو داخلتين على جانب واحد منه تعدلان معاً قائمتين فالخطان متوازيان ليقع الخط المستقيم ي ف على الخطين المسقيمين ا ب، س د وليجعل معهما الزاوية الخارجة ي غ ب أن تعدل الداخلة المتقابلة على ذلك الجانب غ ح د أو ليجعل الداخلتين على جانب واحد ب غ ح، غ ح د إن تعدلا قائمتين فالخطان ا ب، س د متوازيان.

فمن حيث أن ي غ ب تعدل غ ح د وتعدل أيضاً ا غ ح (ق ١٥ ك ١)

فالزاوية ا غ ح تعدل غ ح د وهما متبادلتان ولذلك (ق ٢٧ ك ١)

ا ب يوازي س د وأيضاً من حيث أن ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين حسب المفروض و ا غ ح، ب غ ح تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١)

فالزاويتان ب غ ح، ا غ ح تعدلان ب غ ح، غ ح د اطرح المشتركة ب غ ح فالباقية ا غ ح تعدل الباقية غ ح د وهما متبادلتان ولذاك (ق ٢٧ ك ١) ا ب يوازي س د وأيضاً من حيث أن ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين حسب المفروض و ا غ ح، ب غ ح تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١)

فالزاويتان ب غ ح، ا غ ح تعدلان ب غ ح، غ ح د أطرح المشتركة ب غ ح فالباقية ا غ ح تعدل الباقية غ ح د وهما متبادلتان. ولذلك ا ب و س د متوازيان

فرعٌ. إذا ان كان خطان مستقيمان عموديَّين على خط مستقيم ثالث فهما متوازيان



القضية التاسعة والعشرون.ن

إذا وقع خطّ مستقيم على خطَّين مستقيمين متوازيين فالزاويتان المتبادلتان الحادثتان متساويتان والزاوية الخارجة تعدل الداخلة المتقابلة على جانب واحد والداخلتان على جانب واحد تعدلان قائمتين

ليقع الخط المستقيم ي ق على المتوازيين ا ب، س د فالزاويتان المتبادلتان ا غ ح، غ ح د متساويتان والخارجة ي غ ب تعدل الداخلة المتقابلة على ذلك الجانب غ ح د والداخلتان على جانب واحد ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين

فإن لم تكن ا غ ح، غ ح د متساويتين فليرسم الخط ك غ حتى أن ك غ ح تعدل غ ح د واخرج ك غ إلى ل فالخط ك ل يوازي س د (ق ٢٧ ك ١) و ا ب أيضاً يوازي س د فقد رُسِم خطان مستقيمان مارَّان بنقطة واحدة غ يوازيان س د من غير أن يتطابقا وذلك محال (أولية ۱۱) فلا تكون الزاويتان ا غ ح، غ ح د غير متساويتين أي هما متساويتان.

والزاوية ي غ ب تعدل ا غ ح (ق ۱٥ ك ۱) ولذلك ي غ ب أيضاً تعدل غ ح د (أولية أولى)

أضف إليها ب غ ح فالزاويتان ي غ ب، ب غ ح تعدلان ب غ ح، غ ح د ولكن ي غ ب، ب غ ح تعدلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱) ولذلك ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين أيضاً

فرع أول. إذا جعل الخطان ك ل، س د مع ي ق الزاويتين ك غ ح، غ ح س معاً أصغر من قائمتين فالخطان ك غ، س ح يلتقيان على ذلك الجانب ي ق الذي فيه كانت الزاويتان أصغر من قائمتين

وإلا فهما متوازيان. أو يلتقيان على الجانب الآخر من الخط ي ق ولكنهما غير متوازيين. وإلا لكانت ك غ ح، غ ح س معاً تعدلان قائمتين ولا يلتقيان على الجانب الآخر من الخط ي ق وإلا لكانت ل غ ح، غ ح د زاويتين من زوايا مثلث وأصغر من قائمتين وذلك لا يمكن لأن الأربع زوايا ك غ ح، ح غ ل، س ح غ، غ ح د تعدل أربع زوايا قائمة (ق ۱۳ ك ۱)

واثنتان منها أي ك غ ح، غ ح س هما بالمفروض أصغر من قائمتين فبالضرورة الآخريان ل غ ح، غ ح د أكبر من قائمتين فمن حيث أن ك ل، س د غير متوازيين ولا يلتقيان من جهة ل و د فالضرورة يلتقيان إذا أخرجا إلى جهة ك و س

فرعٌ ثان. إذا كان ب غ ح قائمة تكون غ ح د أيضاً قائمة فالخط العمودي على أحد خطيَّن متوازيين هو عموديٌّ على الآخر أيضاً

فرعٌ ثالث. من حيث أن ا غ ي = ب غ ح و د ح ق = س ح غ تكون الأربع الزوايا الحادَّة ا غ ي، ب غ ح، س ح غ، د ح ق متساوية. وهكذا الأربع الزوايا المنفرجة ي غ ب، ا غ ح، غ ح د، س ح ق هي أيضاً متساوية. وإذا اضيفت إحدى الحادَّات إلى إحدى المنفرجات فالمجموع يعدل قائمتين.

تعليقة. الزاويا المذكورة لها أسماء مختلفة باعتبار نسبة بعضها إلى بعض فالزاويتان ب غ ح، غ ح د هما الداخلتان على جانب واحد وكذلك ا غ ح، غ ح س. والزاويتان ا غ ح، غ ح د هما الداخلتان المتبادلتان أو المتبادلتان فقط. وكذلك ب غ ح، غ ح س. والزاويتان ي غ ب، غ ح د هما الخارجة والداخلة وكذلك ي غ ا، غ ح س والزاويتان ي غ ب، س ح ق هما الخارجتان المتبادلتان وكذلك ا غ ي، د ح ق



القضية الثلاثون.ن

الخطوط المستقيمة المتوازية لخطٍ واحدٍ مستقيم هي متوازية بعضها لبعض

ليقع على ا ب، ي ف، س د الخط المستقيم غ ح فمن حيث أن ا ب، ي ف متوازيان فالزاوية ا غ ح تعدل الزاوية غ ح ف (ق ٢٩ ك ١) ومن حيث أن ي ف، س د متوازيان فالزاوية غ ح ف تعدل غ ك د (ق ٢٩ ك ١)

وقد تبرهن أن ا غ ح تعدل غ ح ف فلذلك ا غ ح تعدل غ ك د أيضاً وهما متبادلتان فالخط ا ب يوازي الخط س د (ق ٢٧ ك ١)



القضية الحادية والثلاثون.ن

علينا أن نرسم خطاً مستقيماً يمرّ في نقطة مفروضة ويوازي خطاً مستقيماً مفروضاً

لتكن ا النقطة المفروضة و ب س الخط المستقيم المفروض. علينا أن نرسم خطاً مستقيماً يوازي ب س ويمر بالنقطة ا

عيّن أية نقطة شئت في ب س كالنقطة مثلاً. أرسم ا د وفي النقطة ا من الخط ا د أرسم الزاوية د ا ي واجعلها أن تعدل الزاوية ا د س (ق ٢٣ ك ١) وأخرج ي ا إلى ف فمن حيث أن الخط المستقيم ا د يلاقي الخطين المستقيمين ي ف، ب س ويجعل معهما الزاويتين المتبادلتين ي ي ا د، ا د س متساويتين فالخط ي ف يوازي ب س (ق ٢٧ ك ١) وقد رُسم حتي يمرّ في النقطة ا المفروضة
القضية الثانية والثلاثون.ن

إذا اخرج ضلعٌ من أضلاع مثلثٍ فالزاوية الخارجة تعدل الداخلتين المتقابلتين. والزوايا الثلاث الداخلة من كل مثلث تعدل قائمتين

ليكن ا ب س مثلثاً وليخرج منه الضلع ب س إلى د فالزاوية الخارجة ا س د تعدل الداخلتين المتقابلتين س ا ب، ا ب س والزاويا الثلاث الداخلة ا ب س، ب س ا، س ا ب معاً تعدل قائمتين

من النقطة س ارسم الخط المستقيم س ي حتى يوازي ا ب (ق ٣١ ك ١) فمن حيث أن الخط ا س يلاقي الخطين المتوازيين ا ب، س ي فالزاويتان المتبادلتان ا س ي، ب ا س متساويتان (ق ٢٩ ك ١) ومن حيث أن ب د يلاقي المتوازيين ا ب، س ي فالزاوية الخارجة ي س د تعدل الداخلة المتقابلة ا ب س وقد تبرهن أن ا س ي تعدل ب ا س فكل الخارجة ا س د تعدل الداخلتين المتقابلتين ب ا س، ا ب س.

اضف إلى هذه الزوايا الزاوية ا س ب فالزاويتان ا س د، ا س ب تعدلان الثلاث زوايا ا ب س، ب ا س، ا س ب ولكن ا س د، ا س ب معاً تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١) فالزوايا الثلاث ا ب س، ب ا س، ا س ب أيضاً تعدل قائمتين.

فرعٌ أول. جميع الزوايا الداخلة في كل شكل ذي أضلاع مستقيمة تعدل من الزوايا القائمة ما يماثل مضاعف عدد أضلاع الشكل إلا أربع زوايا قائمة

لأن كل شكل ذي أضلاع مستقيمة مثل ا ب س د ي ينقسم إلى مثلثات تماثل أضلاعه برسم خط مستقيم من كل زاوية إلى نقطة داخلهُ مثل ق فحسب هذه القضية زوايا كل مثلث تعدل قائمتين فجميع زوايا جميع المثلثات يعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل ولكن الزوايا عند ق تعدل زوايا قائمة (ق ١٥ ك ١ فرع ٢) فزوايا الشكل تعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل إلا أربع زوايا قائمة

فرعٌ ثان. مجتمع الزوايا الخارجة من كل شكل ذي أضلاع مستقيمة يعدل أربع زوايا قائمة. لأن كل زاوية داخلة ا ب س مع الخارجة المتوالية ا ب د تعدل قائمتين (ق ١٣ ك ١) فجميع الداخلة مع جميع الخارجة تعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل والداخلة تعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل إلا أربع قائمات حسب الفرع الأول فالخارجة تعدل أربع قائمات

فرعٌ رابع. إذا عدلت زاويتان من مثلثٍ زاويتين من مثلث آخر فالثالثة من الواحد تعدل الثالثة من الآخر والمثلثان متساويا الزوايا

فرعٌ خامس. لا يكون في مثلث أكثر من زاوية واحدة قائمة. لإنه لو كانت لهُ قائمتان لكانت الثالثة لا شيء. وبالأحرى لا يكون لمثلث أكثر من زاوية واحدة منفرجة

فرع سادس. في كل مثلث قائم الزاوية مجتمع الحادتين يعدل قائمة

فرع سابع. من حيث أن كل مثلث متساوي الأضلاع هو متساوي الزوايا أيضاً (فرع ق ٥ ك ١) فكل زاوية من زواياه تعدل ثلث قائمتين أو ثُلُثَي قائمة

فرع ثامن. مجتمع زوايا ذي أربعة أضلاع يعدل قائمتين في ٤ - ٢ أي أربع قائمات فإذا كانت زواياه متساوية تكون كل واحدة قائمة وذلك يؤيد الحدّ الخامس والعشرين والسادس والعشرين

فرع تاسع. مجتمع زوايا ذي خمسة أضلاع يعدل قائمتين في ٥ - ٢ أي ست قائمات فإذا كانت زواياه متساوية تكون كل واحدة خمس ست قائمات أي ٥٦ قائمة

فرع عاشر. مجتمع زوايا ذي ستة أضلاع تعدل ٢ × (٦ - ٢) أي ثمان قائمات فإذا كانت زواياهُ متساوية تكون كل واحدة سدس ثمان قائمات أي ٤٣ قائمة تعليقة. متى استعمل الفرع الأول في أشكال كثيرة الأضلاع لها زوايا متداخلة مثل ا ب س فيجب أن تحسب كل متداخلة أكبر من قائمتين وإذا رسم ب د، ب ي، ب ف ينقسم الشكل إلى أربع مثلثات لها ثماني قائمات أي قائمتان في عدد الأضلاع إلا اثنين



القضية الثالثة والثلاثون.ن

الخطان المستقيمان الموصلان بين أطراف خطَّين مستقيمين متوازيين متساويين هما متوازيان ومتساويان

ليكن ا ب و س د خطَّين مستقيمين متساويين متوازيين وليوصل بين أطرافهما بالخطين المستقيمين ا س، ب د فهذان الخطان أيضاً متوازيان متساويان

ارسم ب س فمن حيث أن ب س يلاقي الخطَّين المتوازيين ا ب، س د فالزاويتان المتبادلتان ا ب س، ب س د هما متساويتان (ق ٢٩ ك ١)

ومن حيث أن ا ب يعدل س د والخط ب س مشترك بين المثلثين ا ب س، ب س د فالضلعان ا ب، ب س يعدلان الضلعان ب س، س د والزاوية ا ب س تعدل ب س د فالقاعدة ا س تعدل القاعدة ب د (ق ٤ ك ١) وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزوايا من الاخر أي ا س ب تعدل س ب د.

ومن حيث أن الخط ب س يلاقي الخطين ا س، ب د ويجعل الزاويتين المتبادلتين ا س ب، س ب د متساويتين فالخطَّان ا س، ب د متوازيان (ق ٢٧ ك ١) وقد تبرهن أنهما متساويان

فرع أول. في كل شكل ذي أربعة أضلاع إذا كان ضلعان متقابلان متوازيين ومتساويين يكون الضلعان الاخران كذلك ويكون الشكل ذا أضلاع متوازية

فرع ثان. كل ذي أربعة أضلاع ضلعاهُ المتقابلان متساويان هو ذو أضلاع متوازية فرع ثالث. في كل ذي أربعة أضلاع إذا كانت الزوايا المتقابلة متساوية تكون الأضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية



القضية الرابعة والثلاثون.ن

في شكل ذي أضلاع متوازيةٍ الأضلاعُ المتقابلة والزوايا المتقابلة هي متساوية. والقطر ينصفهُ أي يقسمهُ إلى جزئين متساويين

ليكن ا ب، د س متوازي الأضلاع و ب س قطرهُ فالأضلاع المتقابلة والزوايا المتقابلة متساوية والقطر ب س ينصفهُ

فمن حيث أن الخط ب س يلاقي الخطَّين المتوازيين ا ب، س د فالزاويتان المتبادلتان ا ب س، ب س د متساويتان (ق ٢٩ ك ١)

وأيضاً لأن ب س يلاقي المتوازيين ا س، ب د فالمتبادلتان ا س ب، س ب د متساويتان (ق ٢٩ ك ١)

ففي المثلثين ا ب س، ب س د زاويتان من الواحد تعدلان زاويتين من الاخر والضلع ب س مشترك بين المثلثين فالضلعان الآخران من الواحد يعدلان الضلعين الآخرين من الآخر والزاوية الثالثة من الواحد تعدل الثالثة من الآخر (ق ٢٦ ك ١)

أي ا ب يعدل س د و ا س يعدل ب د والزاوية ب ا س تعدل س د ب ولأن الزاوية ا ب س تعدل ب س د و ا س ب تعدل س ب د فكل الزاوية ا ب د تعدل كل الزاوية ا س د وقد تبرهن أن ب ا س تعدل ب د س فكل الزاوية ا ب د تعدل كل الزواية ا س د

وقد تبرهن أن ب ا س تعدل ب د س فالزاويا المتقابلة والأضلاع المتقابلة من ذي أضلاع متوازية هي متساوية وأيضاً القطر ينصفهُ فلأن ا ب يعدل س د و ب س مشترك بين المثلثين والزاوية ا ب س تعدل ب س د فالمثلثان متساويان (ق ٤ ك ١) وقد انتصف الشكل بالقطر

فرع أول. خطان متوازيان خطَّين متوازيين متساويان

فرع ثانٍ. خطان متوازيان هما على بعد واحد بعضهما من بعض أبداً

فرع ثالث. مجتمع زاويتين متواليتين من ذي أضلاع متوازية يعدل قائمتين
القضية الخامسة والثلاثون.ن

أشكال ذات أضلاع متوازية على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين هي متساوية
أنظر الشكل الثاني والثالث

ليكن ا ب س د و ي ب س ف شكلين متوازيي الأضلاع على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ا ف، ب س فالشكل ا ب س د يعدل الشكل ي ب س ف.

إذا انتهى الضلعان ا د، د ف من الشكلين ا ب س د، د ب س ف المتقابلان للقاعدة ب س في نقطة واحدة د فالأمر واضح أن كل واحد من الشكلين إنما هو مضاعف المثلث ب د س (ق ٣٤ ك ١)

وإذ ذاك فهما متساويان وأن لم ينته في نقطة واحدة الضلعان ا د، ي ف من الشكلين ا ب س د، ي ب س ف المقابلان للقاعدة ب س

فثَمَّ من حيث أن ا ب س د متوازي الأضلاع فالضلع ا د يعدل ب س (ق ٣٤ ك ١) ولهذا السبب أيضاً ي ف يعدل ب س ولذلك ا د يعدل ي ف (أولية أولي)

و د ي مشترك فالكل أو البقية أي ا ي يعدل الكل أو البقية د ف (أولية ثانية وثالثة)

و ا ب يعدل د س فالضلعان ي ا، ا ب يعدلان الضلعين ف د، د س كل واحد يعدل نظيرَهُ والزاوية الخارجة ف د س تعدل الداخلة المتقابلة ي ا ب (ق ٢٩ ك ١)

فالقاعدة ي ب تعدل القاعدة ف س والمثلث ي ا ب يعدل المثلث ف د س (ق ٤ ك ١) أطرح المثلث ف د س من الشكل ا ب س ف واطرح منهُ أيضاً ي ا ب فتكون البقايا متساوية (أولية ٣) أي الشكل ا ب س د يعدل الشكل ي ب س ف
القضية السادسة والثلاثون.ن

أشكال ذات أضلاع متوازية على قاعدة متساوية وبين خطين متوازيين هي متساوية

ليكن ا ب س د و ي ف غ ح شكلين متوازيي الأضلاع على قاعدتين متساويتين ب س و ف غ وبين خطين متوازيين ا ح و ب غ فهما متساويان.

ارسم ب ي و س ح فمن حيث أن ب س يعدل ف غ و ف غ يعدل ي ح (ق ٣٤ ك ١)

فلذلك ي ح يعدل ب س أيضاً وهما متوازيان وقد أوصل بينهما إلى جهة واحدة بالخطين ب ي، س ح والخطوط الموصلة بين خطين متوازيين متساويين إلى جهة واحدة هي متوازية ومتساوية (ق ٣٣ ك ١) فالخطان ب ي، س ح متساويان متوازيان والشكل ي ب س ح متوازي الأضلاع وهو يعدل الشكل ا ب س د (ق ٣٥ ك ١)

لإنهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ب س، ا ح ولهذا السبب أيضاً الشكل ي ف غ ح يعدل ي ب س ح فالشكلان ا ب س د، ي ف غ ح متساويان



القضية السابعة والثلاثون.ن

مثلثات على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين هي متساوية

ليكن ا ب س، د ب س مثلثين على قاعدة واحدة ب س وبين خطًّين متوازيين ا د و ب س فهما متساويان

أخرج ا د إلى الجهتين إلى ف و ي (ق ٣١ ك ١) ومن س ارسم س ف حتى يوازي ب د فكل واحد من الشكلين ا ي ب س، د ب س ف متوازي الأضلاع وهما متساويان (ق ٣٥ ك ١) لإنهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ي ف و ب س والمثلث ا ب س هو نصف الشكل ا ي ب س لأن القطر ا ب ينصفهُ (ق ٣٤ ك ١) والمثلث د ب س هو نصف الشكل د ب س ف لأن القطر د س ينصفهُ وانصاف أشياء متساوية بعضها لبعض (أولية ٧) فالمثلث ا ب س يعدل د ب س.



القضية الثامنة والثلاثون.ن

مثلثات على قواعد متساوية وبين خطًّين متساويين هي متساوية

ليكن ا ب س و د ي ف مثلثين على قاعدتين متساويتين ب س، ي ف وبين خطين متوازيين ا د و ب ف فهما متساويان

أخرج ا د إلى الجهتين إلى ح و غ وارسم ب غ حتى يوازي ا س (ق ٣١ ك ١)

ومن ف ارسم ف ح حتى يوازي د ي فكل واحد من الشكلين ا غ ب س، د ي ف ح متوازي الاضلاع وهما متساويان (ق ٣٦ ك ١)

لأنهما على قاعدتين متساويتين ب س، ي ف وبين خطين متوازيين غ ح، ب ف والمثلث ا ب س هو نصف الشكل ا غ ب س (ق ٣٤ ك ١)

لأن القطر ا ب ينصفه و د ي ف هو نصف الشكل د ي ف ح (ق ٣١ ك ١) لأن القطر د ف ينصفه وانصاف أشياء متساوية هي متساوية (أولية ٧) فالمثلث ا ب س يعدل المثلث د ي ف



القضية التاسعة والثلاثون.ن

مثلثات متساوية على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها هي بين خطًّين متوازيين

ليكن ا ب س و د ب س مثلثين متساويين على قاعدة واحدة ب س وعلى جانب واحد منها فهما بين خطين متوازيين

ارسم ا د فالخط ا د يوازي ب س وإلا فمن النقطة ا ارسم ا ي حتى يوازي ب س (ق ٣١ ك ١)

وارسم ي س فالمثلث ا ب س يعدل المثلث ي ب س (ق ٣٧ ك ١)

لأنهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ب س، ا ي والمثلث ا ب س يعدل د ب س فالمثلث ي ب س يعدل د ب س

أي الأصغر يعدل الأكبر وذاك محال فلا يمكن أن يكون ب س و ا ي متوازيين وهكذا يبرهن في كل خط إلا الخط ا د فهو يوازي ب س



القضية الأربعون.ن

مثلثات متساوية على قواعد متساوية وعلى جانب واحد منها هي بين خطًّين متوازيين إذا كانت القواعد على استقامة واحدة

ليكن ا ب س، د ي ف مثلثين متساويين على قاعدتين متساويتين وعلى استقامة واحدة ب س ي ف وعلى جانب واحد منها فهما بين خطَّين متوازيين

ارسم ا د فهو يوازي ب ف وإلا فارسم ا غ حتى يوازي ب ف (ق ٣١ ك ١)

وارسم غ ف فالمثلث ا ب س يعدل المثلث غ ي ف (ق ٣٨ ك ١)

لأنهما على قاعدتين متساويتين ب س ي ف وبين خطَّين متوازيين ب ف، ا غ

ولكن المثلث ا ب س يعدل المثلث د ي ف فلذلك المثلث د ي ف يعدل المثلث غ ي ف أي الأكبر يعدل الأصغر وذاك محال فالخط ا غ لا يوازي ب ف

وهكذا يبرهن في كل خط ما عدا ا د فهو يوازي ب ف



القضية الحادية والأربعون.ن

إذا كان شكل ذو اضلاع متوازية ومثلث على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين فالشكل مضاعف المثلث

ليكن الشكل ذو الأضلاع المتوازية ا ب س د والمثلث ي ب س على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ا ي، ب س فالشكل ا ب س د مضاعف ي ب س

أرسم ا س فالمثلث ا ب س يعدل المثلث ي ب س (ق ٣٧ ك ١) لأنهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ا ي، ب س ولكن الشكل ا ب س د هو مضاعف المثلث ا ب س (ق ٣٤ ك ١) لأن القطر ا س ينصفهُ فالشكل ا ب س د مضاعف المثلث ي ب س أيضاً



القضية الثانية والأربعون.ع

علينا أن نرسم شكلاً ذا اضلاع متوازية حتى يعدل مثلثاً مفروضاً وزاوية من زواياه تعدل زاوية مستقيمة بسيطة مفروضة

ليكن ا ب س المثلث المفروض و د الزاوية البسيطة المفروضة علينا أن نرسم شكلاً ذا أضلاع متوازية حتى يعدل المثلث ا ب س وزاوية من زواياه تعدل د

نَصِف ب س في ي (ق ١٠ ك ١) أرسم ا ي ومن النقطة ي في الخط المستقيم ي س أجعل الزاوية س ي ف حتى تعدل د (ق ٢٣ ك ١)

ومن ا ارسم ا غ حتى يوازي ب س (ق ٣١ ك ١)

ومن س ارسم س غ حتى يوازي ي ف فالشكل س ي ف غ متوازي الأضلاع فمن حيث أن ب ي يعدل ي س فالمثلث ا ب ي يعدل المثلث ا ي س (ق ٣٨ ك ١)

لأنهما على قاعدتين متساويتين ب ي، ي س وبين خطين متوازي ا غ، ب س ولذلك المثلث ا ي س (ق ٤١ ك ١) لأنهما على قاعدة واحدة وبين خطَّين متوازيين فالشكل ف ي س غ يعدل المثلث ا ب س ولهُ الزاوية س ي ف التي تعدل الزاوية المفروضة د فرعٌ. إذا كانت الزاوية د قائمة يكون الشكل ف ي س غ قائم الزاويا ويعدل المثلث ا ب س فبذات هذا العمل يصنع مثلث حتى يعدل شكلاً مفروضاً زواياهُ قائمة
القضية الثالثة والأربعون.ن

الأجزاء المتمَّة لاشكل متوازية الأضلاع واقعةٍ على جانبي قطر شكل متوازي الأضلاع هي متساوية

ليكن ا ب س د شكلاً متوازي الأضلاع و ا س قطرهُ و ي ح و غ ف شكلين متوازيي الأضلاع على جانبي القطر ا س وليكن ب ك و ك د الشكلين الآخرين المتمين لكل الشكل ا ب س د فالمتمّ ب ك يعدل المتمم ك د

فمن حيث أن ا ب س د متوازي الأضلاع و ا س قطرهُ فالمثلث ا ب س يعدل المثلث ا د س (ق ٣٤ ك ١)

ومن حيث أن ا ي ك ح متوازي الأضلاع فالمثلث ا ي ك يعدل المثلث ا ح ك ولهذا السبب أيضاً المثلث ك غ س يعدل المثلث ك ف س فالمثلث ا ي ك مع ك غ س يعدل المثلث ا ح ك مع ك ف س والكل ا ب س يعدل الكل ا د س فالبقية ب ك تعدل البقية ك د (أولية ٣)



القضية الرابعة والأربعون.ن

علينا أن نرسم على خط مستقيم مفروض شكلاً متوازي الأضلاع حتى يعدل مثلثاً مفروضاً وزاوية من زواياه تعدل زاوية بسيطة مفروضة

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض و س المثلث المفروض و د الزاوية المفروضة.

علينا أن نرسم على الخط ا ب شكلاً متوازي الأضلاع حتى شكلاً متوازي الأضلاع حتى يعدل س وزاوية من زواياه تعدل د.

أرسم الشكل المتوازي الأضلاع ب ي ف غ حتى يعدل المثلث س (ق ٤٢ ك ١) واجعل الزاوية ي ب غ منهُ تعدل الزاوية د واجعل ضلعهُ ي ب والخط ا ب على استقامة واحدة واخرج ف غ إلى ح ومن ا ارسم ا ح حتى يوازي ب غ أو ي ف (ق ٣١ ك ١) وارسم ح ب.

فمن حيث ان الخط المستقيم ح ف يلاقي المتوازيين ح ا، ف ي فالزاويتان ا ح ف، ح ف ي معاً تعدلان قائمتين (ق ٢٩ ك ١)

فالزاويتان ب ح ف، ح ف ي معاً أقل من قائمتين ولا بد من إلتقاء ح ب و ف ي إذا أخرجا (ق ٢٩ ك ١ فرع ١)

أخرجهما حتى يلتقيا في ك ومن ك ارسم ك ل حتى يوازي ي ا أو ف ح وأخرج ح ا إلى ل واخرج غ ب إلى م فالشكل ح ل ك ف متوازي الأضلاع وقطره ح ك والشكلان ا غ و م ي هما متوازيا الأضلاع على جانبي القطر ح ك.

و ل ب و ب ف هما المتَّمان فالمتم ل ب يعدل المتم ب ف (ق ٤٣ ك ١)

ولكن ب ف يعدل المثلث س فالشكل ل ب يعدل المثلث س أيضاً والزاوية غ ب ي تعدل الزاوية ا ب م (ق ١٥ ك ١)

ولكن ي ب غ تعدل الزاوية د فالزاوية ا ب م تعدل د أيضاً فالشكل ل ب قد رسم على الخط المفروض ا ب حتى يعدل المثلث المفروض س والزاوية ا ب م منهُ تعدل الزاوية المفروضة د

فرعٌ. على هذا الاسلوب يتحول مثلث إلى شكلٍ ذي زوايا قائمة مفروض طول ضلع من أضلاعه. لأنه إذا كانت د قائمة و ا ب الضلع المفروض فالشكل ا ب م ل يكون ذا زاويا قائمة ويعدل المثلث المفروض س



القضية الخامسة والأربعون.ع

علينا ان نرسم شكلاً متوازي الأضلاع حتى يعدل شكلاً مفروضاً ذا أضلاع مستقية وزاوية من زواياه تعدل زاوية بسيطة مفروضة

ليكن ا ب س د الشكل المفروض ذا أضلاع مستقيمة و ي الزاوية البسيطة المفروضة فعلينا أن نرسم شكلاً متوازي الأضلاع حتى يعدل ا ب س د وزاوية من زواياه تعدل الزاوية ي

ارسم د ب ثم ارسم الشكل المتوازي الأضلاع ف ح (ق ٤٢ ك ١) حتى يعدل المثلث ا د ب واجعل الزاوية ح ك ف منهُ تعدل الزاوية ي وعلى الخط المستقيم غ ح

ارسم الشكل المتوازي الأضلاع غ م (ق ٤٤ ك ١) واجعلهُ يعدل المثلث د ب س والزاوية غ ح م تعدل الزواية ي

فمن حيث أن الزاوية ي تعدل الزاويتين ف ك ح، غ ح م فالزاوية ف ك ح تعدل غ ح م.

أضف إلى كل واحدة منهما الزاوية غ ح ك فالزاويتان غ ح م، غ ح ك تعدلان الزاويتين ف ك ح، غ ح ك ولكن ف ك ح، ك ح غ معاً تعدلان قائمتين (ق ٢٩ ك ١)

فلذلك ك ح غ، غ ح م تعدلان قائمتين فالخطان ك ح، ح م هما على استقامة واحدة (ق ١٤ ك ١) ومن حيث أن الخط المستقيم غ ح يلاقي المتوازيين ك م، ف غ فالزاويتان المتبادلتان م ح غ، ح غ ف متساويتان (ق ٢٩ ك ١)

أضف إلى كل واحدة منهما الزاوية ح غ ل فالزاويتان م ح غ، ح غ ل تعدلان الزاويتين ح غ ف، ح غ ل تعدلان قائمتين.

فالخطان ف غ، غ ل هما على استقامة واحدة. ومن حيث أن ك ف يوازي ح غ و ح غ يوازي ل م فالخط ك ف يوازي الخط ل م (ق ٣٠ ك ١)

والخط ك م يوازي ف ل فالشكل ك م ل ف متوازي الأضلاع.

والمثلث ا ب د يعدل الشكل ح ف والمثلث د ب س يعدل الشكل غ م فالكل ا ب س د يعدل الكل ك ف ل م.

فقد رُسم شكلٌ متوازي الأضلاع ك م ل ف حتى يعدل الشكل المفروض ا ب س د والزاوية ف ك م منهُ تعدل الزاوية المفروضة ي

فرعٌ. على هذا الأسلوب يبنى على خط مستقيم مفروض شكلٌ متوازي الأضلاع لهُ زاوية تعدل زاوية مفروضة وهو يعدل شكلاً مفروضاً ذا أضلاع مستقيمة، أي يبني أولاً على الخط المفروض شكلاً متوازي الأضلاع يعدل المثلث الأول ا ب د (ق ٤٤ ك ١) وزاوية من زواياهُ تعدل الزاوية المفروضة
القضية السادسة والأربعون.ع

علينا ان نرسم مربعاً على خط مستقيم مفروض

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض. علينا أن نرسم عليهِ مربعاً من النقطة ا ارسم الخط ا س عموداً على ا ب (ق ١١ ك ١)

واقطع ا د حتى يوازي ا ب (ق ٣١ ك ١) ومن ب ارسم ب ي حتى يوازي ا ب (ق ٣١ ك ١) ومن د ارسم د ي حتى يوازي ا د.

فالشكل ا د ي ب متوازي الأضلاع والخط ا ب يعدل د ي والخط ا د يعدل ي ب (ق ٣٤ ك ١) ولكن ا ب يعدل ا د فالخطوط الأربعة ا ب، ا د، د ي، ب ي هي متساوية والشكل المتوازي الأضلاع ا ب ي د هو متساوي الأضلاع أيضاً وزواياهُ قائمة لأن ا د الذي يلاقي المتوازيين د ي، ا ب يجعل الزاويتين ب ا د، ا د ي تعدلان قائمتين (ق ٢٩ ك ١)

وقد جعلت ب ا د قائمة فتكون ا د ي أيضاً قائمة وفي كل شكل ذي أضلاع متوازية تكون الزاويا المتقابلة متساوية (ق ٣٤ ك ١) فالزاويتان ا ب ي، ب ي د هما أيضاً قائمتان فالشكل ذو زوايا قائمة وقد تبرهنت مساواة الأضلاع وقد رُسم على الخط المفروض ا ب

فرعٌ. كل ذي متوازي الأضلاع له قائمة واحدة تكون جميع زواياه قائمات



القضية السابعة والأربعون.ن

في كل مثلثٍ ذي قائمة مربَّعُ الوتر يعدل مربَّعَي الساقين

ليكن ا ب س مثلثاً ذا قائمة ب ا س فمربَّعُ الوتر ب س يعدل مربع ا ب مع مربع ا س

ارسم على ب س المربع ب د ي س (ق ٤٦ ك ١) وعلى ب ا المربع ب غ وعلى ا س المربع س ح ومن ا ارسم ا ل حتى يوازي ب د أو س ي (ق ٣١ ك ١) ارسم ا د و ف س.

الزاوية ب ا س قائمة و ب ا غ كذلك (حدّ ٢٥) فالخط المستقيم ب ا يجعل مع الخطَّين المستقين ا س، ا غ الزاويتين المتواليتين ب ا س، ب ا غ تعدلان قائمتين فالخطان على استقامة واحدة (ق ١٤ ك ١) ولهذا السبب الخطان ب ا، ا ح أيضاً على استقامة واحدة.

والزاوية د ب س تعدل الزاوية ف ب ا لأنهما قائمتان.

أضف إلى كل واحدة ا ب س فكل الزاوية د ب ا تعدل الكل ف ب س (أولية ٢) والضلعان ا ب، ب د يعدلان الضلعين ف ب، ب س كل واحد يعدل نظيره.

والزاوية ا ب د يعدل المثلث ف ب س فالقاعدة ا د تعدل القاعدة ف س (ق ٤ ك ١) والمثلث ا ب د يعدل المثلث ف ب س.

والشكل المتوازي الأضلاع ب ل هو مضاعف المثلث ا ب د (ق ٤١ ك ١) لأنهما على قاعدة واحدة ب د وبين خطين متوازيين ب د، ا ل.

والمربع ب غ هو مضاعف المثلث ف ب س لأنهما على قاعدة واحدة ب ف وبين خطين متوازيين ب ف، غ س والأشياء المضاعفة أشياء متساوية هي متساوية (أولية ٦) فالشكل ب ل يعدل المربع ب غ.

وهكذا إذا رُسم ب ك وأي يبرهن أن الشكل س ل يعدل المربع ح س فكل المربع ب د ي س يعدل المربعين ب غ و ح س

فرعٌ أول. مربعُ ساق مثلثٍ ذي قائمة يعدل مربع الوتر إلا مربع الساق الآخر أي ا ب ٢ = ب س ٢ - ا س ٢

فرع ثان. إذا فرض ا ب = ا س إي إذا كان ا ب س متساوي الساقين فلنا ب س ٢ = ٢ ا ب ٢ = ٢ ا س ٢ و ب س = ا ب √ ٢

فرع ثالث. في مثلثين قائمي الزاويتين إذا عدل ضلعان من الواحد ضلعين من الآخر فالضلع الثالث من الواحد يعدل الثالث من الآخر
القضية الثامنة والأربعون.ن

إذا عدل مربعُ ضلع مثلثٍ مربَّعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية

ليكن ا ب س مثلثاً ولنفرض أن مربًّع ب س يعدل مربًّعَي ب ا ا س فتكون ب ا س قائمة

من ا ارسم ا د عموداً على ا س (ق ١١ ك ١) واجعل ا د يعدل ا ب وارسم د س

فمن حيث أن د ا يعدل ا ب فمربع د ا يعدل مربع ا ب أضف إلى كل واحد منها مربع ا س فمربع د ا مع مربع ا س يعدل مربع ب ا مع مربع ا س ولكن مربع د س يعدل مربع د ا مع مربع ا س (ق ٤٧ ك ١) لأن دا س قائمة وحسب المفروض مربع ب س يعدل مربع ب ا مع مربع ا س.

فمربع د س يعدل مربع ب س والضلع د س يعدل الضلع ب س ولأن د ا يعدل ا ب و ا س مشارك بين المثلثين د ا س، ب ا س والقاعدة ب س تعدل القاعدة د س فالزاوية د ا س تعدل الزاوية ب ا س (ق ٨ ك ١) و د ا س قائمة فتكون ب ا س قائمة إيضاً



مضافات إلى الكتاب الأول
قضية ا.ن

الخط العمودي هو أقصر الخطوط التي يمكن رسمها من نقطة خارجة عن خط مفروض إلى ذلك الخط وكل خطَّين مائلين واقعَين على جانبي العمود خارجين من نقطة واحدة وفاصلين جزئين متساويين من الخط الذي يقعان عليه هما متساويان ومن كل خطين أخرين مائلين فاصلين جزئين غير متساويين فابعدهما عن العمود أطولهما ليكن ا ب، ا س، ا د إلى أخرهِ الخطوط المرسومة من النقطة المفروضة ا إلى الخط المستقيم الغير المحدود د ي

وليكن ا ب عموداً فهو أقصر من ا س و ا س أقصر من ا د وهلم جرَّا

لأنَّ الزاوية ا ب س قائمة فالزاوية ا س ب حادَّة (ق ١٧ ك ١) ا ب س والزاوية الصغرى من كل مثلث يقابلها الضلع الاقصر (ق ١٩ ك ١) فالضلع ا ب أقصر من الضلع ا س.

ثم إذا كان ب س و ب ي متساويين يكون الخطان المائلان ا س، ا ي متساويين ايضاً.

لأنَّ الزاوية ا ب س = ا ب ي والضلع ا ب مشترك بين المثلثين ا ب س، ا ب ي فالمثلثان متساويان (ق ٤ ك ١) والضلع ا س = ا ي.

ولأنَّ الزاوية ا س ب حادَّة فالزاوية ا س د منفرجة لإنهما معاً تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١)

والزاوية ا د س حادَّة لأن ا ب د قائمة فالزاوية ا س د هي أكبر من ا د س فالضلع ا د أطول من الضلع س (ق ١٩ ك ١)

فرعٌ أول. العمود هو قياسٌ حقيقيٌ للبعد بين نقطةٍ وخطٍ لأنهُ البعد الأقرب بينهما

فرعٌ ثانٍ. كل نقطة في عمود على نقطة انتصاف خط هي على بعد واحد من طرفي الخط

فرع ثالث. من نقطة واحدة لا يمكن رسم ثلاثة خطوط متساوية إلى خط واحد وإلا لكان خطان مائلان متساويان على جانب واحد من العمود وذاك لا يمكن



قضية ب.ن

إذا عدل وتر مثلث قائم الزاوية وساق من ساقيه وتر مثلث آخر قائم الزاوية وساقاً من ساقيه فالمثلثان متساويان

لنفرض الوتر ا س = د ف والضلع ا ب = د ي فالمثلث القائم الزاوية ا ب س = القائم الزاوية د ي ف.

فلو فُرِضَتْ مساواة الضلع الثالث منهما لكانت مساواة المثلثين ظاهرة.

وإن لم يكن الضلعان الآخران متساويين فخذ جزءاً من ب س مثل ب ح حتى يعدل ي ف (ق ٣ ك ١)

ارسم ا ح فالمثلث ا ب ح = د ي ف (ق ٤ ك ١)

ارسم ا ح فالمثلث ا ب ح = د ي ف (ق ٤ ك ١)

لأنَّ ا ب = د ي و ب ح = ي ف والزاوية ا ب ح = د ي ف لأنهما قائمتان فلذلك ا ح = د ف

ولكن قد فُرِض أن ا س = د ف فالنتيجة أن ا ح = ا س ولكن حسب القضية الماضية الأبَعد عن العمود هو أطول من الأقراب إليه فلا يمكن أن ا ح = ا س ولا يمكن أن ب س لا يعدل ي ف فالمثلثان ا ب س، د ي ف متساويان



قضية ج.ن

إذا كان ضلعا زاويةٍ موازيين ضلعي زاوية أخرى وكان انفراجهما إلى جهة واحدة فالزاويتان متساويتان

لنفرض أن ا ب يوازي د ف و ا س يوازي د ي فالزاوية س ا ب = ي د ف.

ارسم غ ا د على رأسَيهما. فلأن ا ب يوازي د ف فالزاوية الخارجة غ ا ب = غ د ف (ق ٢٩ ك ١)

ولهذا السبب غ ا س = غ د ي فالبقية س ا ب = البقية ي د ف.

فرعٌ. إذا أُخرج ب ا إلى م و س ا إلى ح فلنا ب ا س = ح ا م وإذ ذاك فالزاوية ح ا م = ي د ف أيضاً تعليقة. يلزم حصر القضية بشرط انفراج الخطين إلى جهة واحدة لأنَّ في الزاوية س ا م، س ا يوازي ي د و ا م يوازي د ف ولكن الزاويتان غير متساويتين و س ا م و ي د ف معاً تعدلان قائمتين
قضية د.ع

مفروض زاويتان من زوايا مثلث وعلينا مثلث وعلينا أن نجد الثالثة

ارسم خطاً مستقيماً مثل س د وفي نقطة منهُ مثل ب أجعل الزاوية س ب ا حتى تعدل واحدة من الزاويتين المفروضتين والزاوية ا ب ي حتى تعدل الاخرى فالباقية ي ب د تعدل الثالثة لان هذه الثلاث زوايا تعدل قائمتين (فرع ق ١٣ ك ١)



قضية ه.ع

مفروض زاويتان من زوايا مثلث وضلع من أضلاعه فعلينا أن نرسم المثلث

الزاويتان المفروضتان تكونان المواليتين ضلع المفروض أو تكون أحداهما متوالية لهُ والاخرى متقابلة لهُ. ففي الحالة الثانية استعلم الثالثة حسب القضية الماضية فتكون هي الاخرى المتوالية

ثم ارسم الخط المستقيم ب س حتى يعدل الضلع المفروض وعند ب أجعل الزاوية س ب ا تعدل أحدى المتواليتين وعند س أجعل الزاوية ب س ا تعدل الاخرى المتوالية فالخطان ب ا، ب س يتقاطعان ويحدث من ذلك المثلث المفروض لانه لو كانا متوازيين لكانت الزاويتان عند ب و س تعدلان معاً قائمتين ولم تكونا زوايا مثلث فبالضرورة يكون ا ب س المثلث المطلوب.
قضية و.ع

مفروض ضلعان من أضلاع مثلثٍ وزاويةٌ متقابلة لاحدهما فعلينا أن نرسم المثلث

لهذه العملية حالتان أحداهما متى كانت الزاوية المفروضة منفرجة.

أجعل الزاوية ب ص ا تعدل المفروضة ثم أجعل ص ا يعدل الضلع الذي يوالي الزاوية المفروضة فلو جعلت النقطة ا مركزاً والضلع الاخر أي ا ب بعداً ورُسم قوسٌ لقطع ب س على جانبي ص فلا يمكن أن يرسم أكثر من مثلث واحد ذي زاوية منفرجة على هذه الكيفية وهو المثلث ب ص ا

ولو كانت المفروضة قائمة لرُسِم مثلثان لكن الوتران يقطعان ب س على بعدٍ واحد على جانبي العمود فكان المثلثان متساويين

الحالة الثانية متى كانت الزاوية المفروضة حادَّة والضلع المتقابل أطول من المتوالي فالعمل فيها كما تقدَّم. اجعل ب س ا تعدل المفروضة و ا س يعدل الضلع المتوالي ثم أجعل ا مركزاً والضلع الاخر طولاً فإذا كان طوله ا ب فالقوس يقطع س ب في ب.

ارسم ا ب فيكون ب ا س المثلث المطلوب وإذا كانت المفروضة حادَّة والضلع المتقابل اقصر من الاخر فاجعل ا مركزاً و ا س بعداً فالقوس يقطع ب س في س و ص على جانب واحد من ب فيحدث مثلثان ب ا ص، ب ا س وكل واحد منهما مستوفٍ شروط العمل.

تعليقة. في هذه الحالة الاخيرة لو كان طول الضلع الأقصر طول العمود من ا إلى ب س لحدث مثلثٌ قائم الزاوية. ولو كان ذلك الضلع أقصر من العمود من ا على ب س لكانت المسئلة غير ممكنة في كل الأحوال
قضية ز.ع

علينا أن نجد مثلثاً يعدل شكلاً مفروضاً ذا أضلاعٍ مستقيمة

ليكن ا ب س د ي الشكل المفروض. ارسم القطر س ي الذي يفصل من الشكل المثلث س د ي. ارسم د ف حتى يوازي س ي واخرج ا ي إلى ف ثم أرسم س ف فالشكل ا ب س د ي يعدل الشكل ا ب س ف لانَّ المثلثين س د ي س ف ي هما على قاعدة واحدة س ي وبين خطين متوازيين س ي د ف فهما متساويان (ق ٣٧ ك ١)

ثم ارسم القطر س ا وارسم ب غ حتى يوازي س ا واخرج ي ا إلى غ وارسم س غ فالشكل ا ب س د ي قد تحول إلى مثلث يعدله غ س ف

فرع. من حيث أن المثلث يمكن تحزيلهُ إلى شكل ذي زوايا قائمة يعدله فبالضرورة كل ذي أضلاع كثيرة يمكن تحويله إلى شكل ذي زوايا قائمة يعدله



قضية ح.ع

علينا أن نستعلم ضلع مربعٍ يعدل مجتمع مربعين

ارسم خطين غير محدودين مثل ا ب، ا س أحدهما عمودي على الآخر. ثم أقطع ا ب حتى يعدل ضلعاً من احد المربعين المفروضين و ا س الاخر.

أرسم ب س فلان ب ا س قائمة فمربع ب س = مربع ب ا مع مربع ا س (ق ٤٧ ك ١)

تعليقة. هكذا يُرسَم مربعٌ يعدل مجتمع أيّ مربعات فُرضت وذلك بتحويل ثلاثة منها إلى اثنين واثنين إلى واحد وهلمَّ جرَّا.
قضية ط.ع

علينا أن نجد ضلع مربعٍ يعدل فضلة مربعين مفروضين

ارسم كما في القضية السابقة ا س، ا د أحدهما عموداً على الآخر واجعل ا س يعدل ضلع أصغر المربعين ثم أجعل س مركزاً وضلع المربع الآخر بعداً وارسم قوساً يقطع ا د في د فالمربع المرسوم على ا د يعدل فضلة مربَّعي س د و ا س لأن د ا س قائمة و ا د2 = س د2 - ا س2 (ق ٤٦ ك ١ فرع أول)



قضية ي.ع

مفروض شكلٌ ذو زوايا قائمة وعلينا أن نرسم أخر مثلهُ لهُ ضلع مفروض

ليكن ا ي، ق ح الشكل المفروض.

اخرج ضلعاً من أضلاعهِ مثل ا ح حتى يصير ح ب على الطول المفروض.

أخرج ا ي وارسم ب ق وأجعل ق غ يعدل ح ب وارسم ب غ س و ح ق ك حتى يوازيا ا ب أو ي غ

فالشكل غ ق ك س يعدل ا ح ق ي (ق ٤٣ ك ١) ولهُ ق غ الضلع المفروض

فرعٌ. شكل ذو أضلاع كثيرة يمكن تحويلهٌ إلى شكل ذي زوايا قائمة يعدلهٌ ولهٌ ضلع مفروض
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
[39]
[40]
[41]
[42]
[43]
[44]
[45]
[46]
[47]
[48]
[49]
[50]
[51]
[52]
[53]

==================

2. الكتاب الثاني

حدود


كل شكل متوازي الأضلاع قائم الزوايا يُعبَّر عنه بالضلعين المحيطين بإحدى قائماته فالشكل ا س المتوازي الأضلاع القائم الزوايا يسمى القائم الزوايا الذي يحيط به ا د و د س أو ا د و ا ب وهكذا إلى اخره ولأجل الاختصار يقال القائم الزوايا ا د في د س أو ا د × د س أو ا د . د س
حاصل خطًّين او مسطحهما في اصطلاح الهندسة هو القائم الزوايا المصطنع منهما مع ما يوازيهما. وقد تستعمل هذه العبارة أيضاً في علم الحساب وعلم الجبر والمقابلة حيث يدلُّ على حاصل كميتين غير متماثلتين. وإذا كانتا متماثلتين فمسطحهما مربعٌ أي كمية في ذاتها. فمربعات الاعداد 1 2 3 إلى أخره هي 1 4 9 إلى أخرهِ والمربع المرسوم على مضاعف خط هو اربعة امثال المربع المرسوم على الخط ذاتهِ. والمرسوم على ثلاثة أمثال خط هو تسعة أمثال المرسوم على الخط ذاتهِ
شكل من الاشكال الواقعة على جانبي القطر في كل شكل متوازي الاضلاع مع المتمَّين يسمى عَلَمٌ فالشكل ح ع مع المتمَّين ا ق ق س هو علم الشكل ا س وكذلك ي ك مع ا ق و ق س. ولأجل الاختصار يسمى الاول العلم ا ع ك أو ي ح س



القضية الاولى.ن


إذا فُرِض خطَّان مستقيمان وانقسم أحدهما إلى اقسام متعددة فالقائم الزوايا مسطحهما يعدل مجتمع القائمات الزوايا مسطحات الخط الغير المقسوم في أقسام المقسوم

ليكن ب س خطَّا مستقيماً و ا خطَّا مستقيماً وليقسم ب س إلى اقسام في د و ي فالقائم الزوايا ا × ب س يعدل القائمات الزوايا ا × ب مع ا × د ي مع ا × ي س من النقطة ب أرسم الخط ب ف عموداً على ب س (ق 11 ك 1) واقطع منهُ ب ع حتى يوازي ب س (ق 31 ك 1) ومن النقط الثلاث د ي س أرسم الخطوط د ك ي ل س ح حتى توازي ب غ فالاشكال ب ح ب ك د ل ي ح هي قائمات الزاويا و ب ح = ب ك + د ل + ي ح

ولكن ب ح = ب ع × ب س = ا × ب س لأنَّ ب ع = ا و ب ك = ب غ × ب د = ا × ب د لأن ب ع = ا و د ل = د ك × د ي = ا × د ي لان د ك = ب غ = ا (ق 34 ك 1) وهكذا أيضاً ي ح = ا × ي س فإذا ا × ب س = ا × ب د + ا × د ي + ا × ي س أي القائم الزوايا أو المسطح ا × ب س يعدل مجتمع القائمات الزوايا ا × ب د + ا × د ي + ا × ي س

تعليقة. خصائص اقسام الخطوط المبرهنة في هذا الكتاب تستعلم أيضاً بسهولة من علم الجبر والمقابلة. ففي هذه القضيَّة اذا فرضنا أقسام الخط ب س ب و س و د فلنا ا × (ب + س + د) = ا ب + ا س + ا د



القضية الثانية.ن


إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين فالقائما الزوايا مسطحا كل الخط في كل واحد من قسمَيهِ يعدلان معاً مربع كل الخط

لينقسم الخط المستقيم ا ب قسمين في س فالقائِم الزوايا ا ب × ب س مع القائِم الزاويا ا ب × ا س يعدلان مربع ا ب أي ا ب × ب س + ا ب × ا س = ا ب2

ارسم على ا ب المربع ا د ي ب (ق 46 ك 1) ومن س ارسم س ف حتى يوازي ا د أو ب ي (ق 31 ك 1) فلنا ا ف + س ي = ا ي ولكن ا ف = ا د × ا س = ا ب × ا س لانَّ ا د = ا ب والشكل س ي = ب ي × ب س = ا ب × ب س وأي ا ب2 فإذا ا ب × ا س + ا ب × ب س = ا ب2

تعليقة. وهكذا بالجبر. فلنفرض ا ب = ا و ا س = ب و س ب = د فلنا ا = ب + د أضرب جانبي المعادلة في ا2 = ا ب + ا د



القضية الثالثة.ن


إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين فالقائِم الزوايا مسطح كل الخط في كل احد قسميهِ يعدل القائم الزوايا مسطح القسمين مع مربع القسم المذكور

ليقسم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين في س فالقائم الزوايا ا ب × ب س يعدل القائم الزوايا ا س × ب س مع مربع ب س

ارسم على ب س المربع س د ي ب (ق 46 ك 1) واخرج ي د إلى ف ومن ا ارسم ا ف حتى يوازي س د أو ب ي (ق 31 ك 1) فالشكل ا ي = ا د + س ي ولكن ا ي = ا ب × ب ي = ا ب × ب س لانَّ ب ي = ب س و ا د = ا س × س د = ا س × س ب و س ي = ب س2 فإذا ا ب × ب س = ا س × س ب + ب س2

تعليقة. وهكذا بالجبر. فلنفرض ا ب = ا و ا س = ب و س ب = س فلنا ا = ب + س اضرب الجانبين في س فلنا ا س = س ب + س2



القضية الرابعة.ن


إذا انقسم خط مستقيم إلى قسمين فمربع الخط كلهِ يعدل مربًّعي القسمين مع مضاعف القائِم الزوايا مسطح القسمين

ليقسم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين في س فمربع ا ب يعدل مربع ا س مع مربع س ب مع مضاعف القائم الزاويا ا س في س ب أي ا ب2 = ا س2 + س ب2 + 2 ا س × س ب

ارسم على ا ب المربع ا د ي ب (ق 46 ك 1) وارسم ب د ومن س ارسم س غ ف حتى يوازي ا ب أو د ي

فمن حيث أن س ف يوازي ا د ويلاقيهما ب د فالزاوية الخارجة ب غ س تعدل الداخلة المتقابلة ا د ب (ق 29 ك 1) ولكن ا د ب = ا ب د (ق 5 ك 1) لان ب ا = ا د لانهما ضلعا مربع. فالزاوية س غ ب = س ب غ و ب س = س غ (ق 6 ك 1) ولكن س ب = غ ك (ق 34 ك 1) و س غ = ب ك فالشكل ب س غ ك متساوي الاضلاع وهو متساوي الزوايا أيضاً لان س ب ك قائمة فتكون بقية زوايا الشكل س غ ك ب قائمات (فرع ق 46 ك 1) فهو مربع على الضلع س ب وهكذا أيضاً يبرهن ان ح ف مربعٌ وهو على الضلع غ ح الذي يعدل ا س فالشكلان ح ف س ك هما مربعا ا س × ب س ولان المتمّ ا غ يعدل المتم غ ي (ق 43 ك 1) وا غ = ا س × س غ = ا س × س ب فلذلك أيضاً غ ي = ا س × س ب و ا غ + غ ي = 2 ا س × س ب ولكن ح ف = ا س2 و س ك = س ب2 فإذا ح ف + س ك + ا غ + غ ي = ا س2 + س ب2 + 2 ا س × س ب ولكن ح ف + س ك + ا غ + غ ي = الشكل ا ي أو ا ب2 فإذا ا ب2 = ا س2 + س ب2 + 2 ا س × س ب

فرعٌ. يتضح من هذه القضية ان الاشكال المتوازية الاضلاع على جانبي قطر مربع هي أيضاً مربعات

تعليقة. هذه القضية تبرهن أيضاً من مربع كمية ثنائية في الجبر فإذا فرض القسمان ا و ب (ا + ب)2 = ا2 + 2 ا ب + ب2



القضية الخامسة.ن


إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى اقسمين متماثلين وأيضاً إلى قسمين غير متماثلين فالقائِم الزوايا مسطح القسمين غير المتماثلين مع مربع القسم الواقع بين نقطتي الانقسام يعدل مربع نصف الخط

الزوايا ا د × د ب مع مربع س د يعدل مربع س ب أي ا د × د ب + س د2 = س ب2

ارسم على ب س المربع س ي ب ف (ق 46 ك 1) وارسم القطر ب ي ومن د ارسم د ح (ق 31 ك 1) حتى يوازي س ي أو ب ف ومن ح ارسم ك ل م حتى يوازي س ب أو ي ف ومن ا ارسم ا ك حتى يوازي س ل أو ب م

فمن حيث ان س ح = ح ف فإذا أضيف إلى كل واحد منهما د م لنا س م = د ف ولكن ا ل = س م (ق 36 ك 1) فإذاً ا ل = د ف. أضيف إلى واحد منهما س ح فلنا ا ح = العلم س م غ. و ا ح = ا د × د ح = ا د × د ب لان د ح = د ب (فرع ق 4 ك 2) فالعلم س م غ = ا د × د ب. أضف إلى كل واحد منهما ل غ = س د2 فالعلم م غ + ل غ = ا د × د ب + س د2 ولكن س م غ + ل غ = ب س2 فإذاً ا د × د ب + س د2 = ب س2

فرعٌ يتضح من هذه القضية أن فضلة مربَّعي خطين غير متماثلين ا س س د يعدل القائِم الزوايا مسطح مجتمعهما في فضلتهما أي أن ا س2 - س د2 = (ا س + س د) × (ا س - س د)

تعليقة. في هذه القضية لنفرض ا س = ا و س د = ب فلنا ا د = ا + ب و د ب = ا - ب وبالجبر (ا + ب)×(ا - ب) = ا2 - ب2 أي مسطح مجتمع كميتين في فضلتهما يعدل فضلة مربعيهما



القضية السادسة.ن


إذا تنصَّف خط مستقيم ثم أخرج على استقامته إلى نقطةٍ ما فالقائم الزوايا مسطح الخط كلهِ بعد اخراجهِ في الجزءِ الذي قد زيد عليهِ مع مربع نصف الخط الذي قد تنصف يعدل مربع الخط المركب من النصف والجزءِ المزيد

ليُقسَم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين متماثلين في س ثم ليخرج إلى د فالقائم الزوايا ا د × د ب مع س ي يعدل مربع س ب يعدل مربع س د

ارسم على س د المربع س ي ف د (ق 46 ك 1) وارسم القطر د ي ومن ب ارسم ب ح غ (ق 31 ك 1) حتى يوازي د ف أو س ي ومن ح ارسم ك ل م حتى يوازي ا د أو ي ف ومن ا ارسم ا ك حتى يوازي س ل أو د م. فمن حيث ان ا س = س ب فالقائم الزوايا ا ل = ح ف. أَضِف إلى كل واحد منهما س م فالكل ا م = العلم س م غ و ا م = ا د × د م = ا د × د ب لانَّ د م = د ب فالعلم س م غ = القائم الزوايا ا د × د ب و س م غ + ل غ = ا د × د ب + س ب2 و س م غ + ل غ = س ف = س د2 فاذاً ا د × د ب + س ب2 = س د2

تعليقة. وهكذا بالجبر. لنفرض ا ب = 2 ا و ب د = ب فلنا ا د = 2 ا + ب و س د = ا + ب وبالضرب ب × (2 ا + ب) = 2 ا ب + ب2. أَضِفْ إلى الجانبين ا2 فلنا ب × (2 ا + ب) + ا2 = ا2 + 2 ا ب + ب2 أي ب × (2 ا + ب) + ا2 = (ا + ب)2



القضية السابعة.ن


إذا انقسم خطٌّ مستقيم إلى قسمين فمربع كل خط مع مربع أحد القسمين يعدل مضاعف القائِم الزوايا مسطح الخط كله في ذلك القسم مع مربع القسم الآخر

ليُقسَم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين في س فمربع ا ب مع مربع ب س يعدل مضاعف القائم الزوايا ا ب × ب س مع مربع ا س أي ا ب2 + ب س2 = 2 ا ب × ب س + ا س2

ارسم على ا ب المربع ا د ي ب (ق 46 ك 1) وتتم الشكل كما في القضايا السابقة. فمن حيث ان ا غ = غ ي فالكل ا غ + س ك = غ ي + س ك أي ا ك = س ي و ا ك + س ي = 2 ا ك و ا ك + س ي = العلم ا ك ف + س ك فإذاً ا ك ف + س ك = 2 ا ك = 2 ا ب × ب ك = 2 ا ب × ب س (فرع ق 4 ك 2) فمن حيث ان ا ك ف + س ك = 2 ا ب × ب س فالكل ا ك ف + س ك + ح ف = 2 ا ب × ب س + ح ف و ا ك ف + ح ف = ا ي = ا ب2 فاذاً ا ب2 + س ك = 2 ا ب × ب س + ح ف أي (حيث أن س ك = ب س2 و ح ف = ا س2) ا ب2 + س ب2 = 2 ا ب × ب س + ا س2

فرعٌ. فاذاً مجتمع مربعي خطين بعدل مضاعف القائم الزوايا مسطح الخطَّين مع مربع فضلة الخطين

تعليقة. في هذه القضية لنفرض ا ب = ا و ا س = ب و س ب = س فلنا ا2 = ب2 + 2 ي س + س2 أضف س2 إلى كل جانب فلنا

ا2 + س2 = ب2 + 2 ب س + 2 س2 أي ا2 + س2 = ب2 + 2 س × (ب + س) أي ا2 + س2 = 2 ا س + ب2

فرعٌ. يتضح من هذه القضية أن المربع المرسوم على فضلة خطَّين يعدل مجتمع المربَّعين المرسومَين على الخطَّين إلا مضاعف القائم الزوايا مسطح الخطَّين. لان ا - س = ب وبالترقية ا2 - 2 ا س + س2 = ب2



القضية الثامنة.ن


إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين فاربعة أمثال القائِم الزوايا مسطح كل الخط في احد القسمين مع مربع القسم الآخر يعدل مربع الخط المركب من الكل مع القسم الأول

ليقسم الخط المستقيم ا ج إلى قسمين في س فاربعة أمثال القائِم الزوايا ا ج × ج س مع مربع ا س يعدل مربع الخط المركب من ا ج مع ج س

اخرج ا ج إلى ذ واجعل ج ذ يعدل ج س وعلى ا ذ ارسم المربع ا ت ف ذ وارسم شكلين مثل ما في القضية السالفة. فمن حيث ان ب ي = س ج (ق 34 ك 1) و س ج = ج ذ و ج ذ = ن ي فلذلك ب ي = ن ي ولهذا السبب أيضاً ق د = د ر ولانَّ س ج = ج ذ و ب ي = ي ن فالقائما الزوايا س ي و ج ن متساويان وكذلك أيضاً ب د = ي ر ولكن س ي = ي ر (ق 43 ك 1) لانهما متَّما الشكل س ر فإذاً ج ن = ب د والقائمات الزوايا الأربع س ي ج ن ي ر ب د متساوية وهي معاً = 4 س ي وأيضاً لانَّ س ج = ج ذ و ج ذ = ج ي (فرع ق 4 ك 2) أو س ب ولانَّ س ج = ب ي أو ب ق فلذلك س ب = ب ق ولان س ب = ب ق و ق د = د ر فالقائم الزوايا ا ب = م ق و ق ل = د ف ولكن م ق = ق ل (ق 43 ك 1) لانهما متَّما م ل فإذاً ا ب = د ف فالاربع ا ب م ق ق ل د ف متساوية وهي معاً تعدل 4 ا ب وقد تبرهن ان س ي ب د ج ن ي معاً 4 س ي فبإضافة أشياء متساوية إلى أشياء متساوية يكون كل العلم ا ر ح = 4 ا ي و ا ي = ا ج × ج ي = ا ج × ج س و 4 ا ي = 4 ا ج × ج س فالعلم ا ر ح = 4 ا ج × ج س + ا س2 ولكن ا ر ح + ك ح = ا ف = ا د2 فإذاً ا د2 = 4 ا ج × ج س + ا س2

فرعٌ أول. من حيث ان اذ هو مجتمع الخطين ا ج ج س و ا س فضلتهما فاربعة أمثال القائم الزوايا مسطح خطَّين مع مربع فضلتهما يعدل مربع مجتمع الخطَّين

فرع ثان. بما أنهُ قد تبرهن من هذه القضية أن مربع س ذ هو أربعة أمثال مربَّع س ج يتضح أن مربع خط هو أربعة أمثال مربع نصفهِ

تعليقة. لنفرض ا ج = ا و ا س = س و س ج = ب و ا ذ = س + 2 ب و ا = ب + س. أضرب الجانبين في 4 ب فلنا 4 ا ب = 4 ب2 + 4 ب س أضف س2 إلى جانبين فلنا 4 ا ب + س2 = س2 + 4 ب س + 4 ب2 أي 4 ا ب + س2 = (س + 2 ب)2



القضية التاسعة.ن


إذا انقسم خطٌ مستقيم إلى قسمين متماثلين وأيضاً إلى قسمين غير متماثلين فمربَّعا القسمين الغير المتماثلين معاً يعدلان مضاعف مربع نصف الخط مع مضاعف مربع الجزء الواقع بين نقطتي الانقسام

ليُقسَم الخط المستقيم ا ب إلى قسمين متماثلين في س وغير متماثلين في فمربعا ا د د ب معاً يعدلان مضاعف مربعي ا س س د

من س أرسم س ي (ق 11 ك 1) عموداً على ا ب واجعل س ي يعدل ا س أو س ب. ارسم ا ي و ي ب ومنت د ارسم د ق (ق 21 ك 1) حتى يوازي س ي. ومن ق ارسم ا ي و ي ب ومن د ارسم د ق (ق 21 ك 1) حتى يوازي س ي. ومن ق أرسم ق غ حتى يوازي ا ب وارسم ا ق. فمن حيث ان ا س يعدل س ي فالزاوية ي ا س تعدل الزاوية ا ي س (ق 5 ك 1) وهما معاً قائمة لان ا س ي قائمة (فرع 4 ق 32 ك 1) ولهذا السبب أيضاً كل واحدة من الزاويتين س ي ب س ب ي نصف قائمة. فالكل ا ي ب ق ي ومن حيث ان غ ي ق نصف قائمة و ي غ ق قائمة لانها تعدل الداخلة المتقابلة ي س ب (ق 26 ك 1) فالباقية ي ق غ تعدل نصف قائمة. فالزاوية غ ي ق تعدل ي ق غ والضلع ي غ يعدل الضلع غ ق (ق 6 ك 1) وأيضاً لانَّ الزاوية عند ب هي نصف قائمة و ق د ب قائمة لانها تعدل الداخلة المتقابلة ي س ب (ق 29 ك 1) فالباقية د ق ب هي نصف قائمة. فالزاوية عند ب تعدل الزاوية د ق ب والضلع ق د يعدل الضلع د ب (ق 6 ك 1) ولان ا س = س ي ا س2 = س ي2 و ا س2 + س ي2 = 2 ا س2 ولكن (ق 47 ك 1) ا ي2 = ا س2 + س ي2 فإذاً ا ي2 = 2 ا س2. وأيضاً لانَّ ي غ = غ ق ي غ2 = غ ق2 و ي غ2 + غ ق2 = 2 غ ق2 ولكن ي ق2 = ي غ2 + غ ق2 فإذاً ي ق2 = 2 غ ق2 = 2 س د2 لان س د = غ ق (ق 34 ك 1) وقد تبرهن ان ا ي2 = 2 ا س2 فإذاً ا ي2 + ي ق2 = 2 ا س2 + 2 س د2 ولكن (ق 47 ك 1) ا ق2 = ا ي2 + ي ق2 و ا د2 + د ق2 = ا ق2 أي ا د2 = د ب2 = ا ق2 فإذاً ا د2 + د ب2 = 2 ا س2 + 2 س د2

تعليقة. هذه القضية واضحة من الجبر إذا فرضنا ا س = ا و س د = ب و ا + ب = ا د و ا - ب = د ب فلنا (ا + ب)2 + (ا - ب)2 = 2 ا2 + 2 ب2



القضية العاشرة.ن


إذا تنصَّف خط مستقيم ثم أخرج إلى نقطةٍ ما فمربع كل الخط بعد اخراجهِ ومربع الجزءِ الذي قد زيد إليه هما معاً مضاعف مربع نضف الخط الذي قد تنصف مع مربع الخط المركب من النصف والجزاء المزيد

ليتنصف الخط المستقيم ا ب في س وليخرج إلى النقطة د فمربعا ا د د ب هما معاً مضاعف مربعي ا س س د

من س ارسم س ي عموداً على ا ب (ق 11 ك 1) واجعل س ي يعدل ا س أو س ب ارسم ا ي و ي ب ومن ي ارسم ي ف (ق 31 ك 1) حتى يوازين ا ب ومن د ارسم د ف حتى يوازي ي س. فلأنَّ ي ف يلاقي المتوازيين ي س ف د فالزاويتان س ي ف ي ف د هما معاً قائمتان (ق 29 ك 1) فتكون ب ي ف ي ف د معاَ أقل من قائمتين ولا بد من التقاء ي ب و ف د إذا أُخرِجا (ق 29 ك 1) لنفرض التقائهما في غ وارسم ا غ فلأن ا س = س ي فالزاوية س ي = ي ا س (ق 5 ك 1) و ا س ي قائمة فكل واحدة من س ا ي س ي ا هي نصف قائمة (ق 33 ك 1 فرع 4) ولهذا السبب كل واحدة من س ي ب س ب ي أيضاً نصف قائمة فتكون ا ي ب قائمة. ومن حيث ان ي ب س نصف قائمة فالزاوية د ب غ أيضاً نصف قائمة (ق 15 ك 1) لانهما متقاباتان و ب د غ قائمة لانها تعدل المتبادلة د س ي (ق 29 ك 1) فالباقية د غ ب نصف قائمة وتعدل د ب غ فالضلع ب د يعدل الضلع د غ (ق 6 ك 1) ومن حيث ان ي غ ف نصف قائمة والزاوية عند ف قائمة لانها تعدل المتقابلة ي س د (ق 34 ك 1) فالباقية ف ي غ نصف قائمة وتعدل ي غ ف فالضلع ف ي يعدل الضلع ف غ (ق 6 ك 1) ولان ي س يعدل س ا ي س2 = س ا2 و ي س2 + س ا2 = 2 س ا2 و ا ي2 = ا س2 + س ي2 (ق 47 ك 1) فإذاً ا ي2 = 2 ا س2 ولان ي ف = ف غ ف2 = ف غ2 و ي ف2 + ف غ2 = 2 ي ف2 ي غ2 (ق 47 ك 1) و ي ف = س د فإذاً ي غ2 = 2 س د2 وقد تبرهن ان ا ي2= 2 ا س2 فإذا ا ي2 + ي غ2 = 2 ا س2 + 2 س د2 وا غ = ا ي2 + ي غ2 (ق 47 ك 1) فإذاً ا غ2 = 2 ا س2 + 2 س د2 و ا غ2 = ا د2 = ا د2 + د غ2 (ق 47 ك 1) = ا د2 + د ب2 فإذا ا د2 + د ب2 = 2 1 س2 + 2 س د2

تعليقة. إذا فرضنا ان ا س = ا و ب د = ب و ا د = 2 ا + ب و س د = ا + ب فلنا (2 ا + ب)2 + ب2 = 4 ا2 + 4 ا ب + 2 ب2 ولكن 4 ا2 4 ا ب + 2 ب2 = 2 ا2 + 2(ا + ب)2 فإذاً (2 ا + ب)2 + ب2 = 2 ا2 + 2 (ا + ب)2



القضية الحادية عشرة.ع


علينا ان نقسم خطَّا مستقيماً مفروضاُ إلى قسمين حتى يعدل القائم الزوايا مسطحُ الكل في احد القسمين مربعَ القسم الآخر

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض فعلينا ان نقسمه إلى قسمين حتى يعدل القائم الزوايا مسطح ا ب في احد قسميهِ مربعَ القسم الآخر. ارسم على ا ب المربع ا ب د س (ق 46 ك 1) ونَصِّفْ ا س في ي (ق 10 ك 1) ارسم ب ي واخرج س ا إلى ف واجعل ي ف حتى ي ف يعدل ي ب (ق 3 ك 1) وعلى ا ف ارسم المربع ف غ ح ا (ق 46 ك 1) فقد انقسم ا ب في ح حتى يعدل القائمُ الزوايا ا ب × ب ح مربعَ ا ح

أخرج غ ح إلى ك. فمن حيث ان ا س قد تنصف في ي ثم أخرج إلى ف فالقائم الزوايا س ف × ف ا مع مربع ا ي يعدل مربع ي ب ولكن مربع ي ب يعدل مربع ب ا مع مربع ا ي (ق 47 ك 1) لان ب ا ي قائمة فالقائم الزوايا س ف × ف ا مع مربع ا ي يعدل مربع ب ا مع مربع ا ي. أطرح المشترك مربع ا ي فالباقي القائم الزوايا س ف × ف ا يعدل مربع ا ب و س ف × ف ا يعدل الشكل ف ك لان ف ا = ف غ و ا د يعدل مربع ا ب فالشكل ف ك يعدل ا د اطرح الجزء المشترك ا ك فالباقي ف ح يعدل الباقي ح د ولكن ح د = ا ب × ب ح لأَنَّ ا ب = ب د و ف ح هو مربع ا ح فالقائم الزوايا ا ب × ب ح يعدل مربع ا ح فقد انقسم ا ب إلى قسمين في ح والقائم الزوايا ا ب × ب ح يعدل مربع ا ح



القضية الثانية عشرة.ن


في كل مثلثٍ ذي زواية منفرجة إذا رُسِم عمودٌ من احدى الحادَّتين على الضلع المقابل بعد اخراجهِ فمربع الذي يقابل المنفرجة هو اكبر من مربعَي المحيطيَن بالمنفرجة بمضاعف القائم الزوايا مسطَّح الضلع الذي وقع عليه العمود في الجزءِ المزيد أي الواقع بين النفرجة والعمود

ليكن ا ب س مثلثاً ذا زاوية منفرجة ا س ب وليقع عمود من ا إلى ا د على ب س بعد اخراجهِ إلى د (ق 12 ك 1) فمربع ا ب هو أكبر من مربعَي ا س و س ب بمضاعف القائم الزوايا ب س × س د

فمن حيث ان ب د قد انقسم إلى قسمين في س فلنا (ق 4 ك 2) ب د2 = ب س2 + س د2 + ا د2 + 2 × ب س × س د ولكن ا ب2 = ب د2 + ا د2 (ق 47 ك 1) و ا س2 = س د2 + ا د2 فإذاً ا ب2 = ب س2 + ا س2 + 2 ب س × س د أي ا ب2 هو أكبر من ب س2 + ا س2 بمسطح 2 ب س × س د



القضية الثالثة عشرة.ن


في كل مثلث مربع الضلع المقابل احدى الزوايا الحادَّة هو أصغر من مربعي الضلعين المحيطين بها بمضاعف القائم الزوايا مسطح احد هذين الضلعين في الجزء منهُ الواقع بين الزاوية الحادَّة وعمودٍ عليه من الزاوية المقابلة

ليكن ا ب س مثلثاً ولكن الزاوية عند ب أحدى زواياه الحادَّة وليقع على الضلع ب س منهُ عمودٌ ا د من الزاوية المقابلة (ق 12 ك 1) فمربع الضلع ا س الذي يقابل الزاوية عند ب هو أصغر من مربعي س ب ب ا بمضاعف القائم الزوايا س ب × ب د

أولاً ليقع العمود ا د داخل المثلث ا ب س فلأَّنَّ الخط المستقيم س ب قد انقسم في د فلنا (ق 7 ك 2) ب س2 + ب د2 = 2 ب س × ب د + س د2 اضف إلى الجانبين ا د2 = فلنا ب س2 + ب د2 + ا د2 = 2 ب س × ب د + س د2 + ا د2 ولكن ب د2 + ا د2 = ا ب2 و س د2 + د ا2 = ا س2 (ق 47 ك 1) فإذاً ب س2 + ا ب2 = 2 ب س × ب د + ا س2 أي ا س2 هو أصغر من ب س2 + ا ب2 بمسطح 2 ب س × ب د

ثانياً ليقع العمود ا د خارج المثلث ا ب س (انظر شكل القضية السابقة) فمن حيث أن الزاوية عند د هي قائمة فالزاوية ا س ب هي أكبر من قائمة (ق 16 ك 1) و ا ب2 = (ق 12 ك 2) ا س2 + ب س2 + 2 ب س × س د اضف إلى الجانبين ب س2 فلنا ا ب2 + ب س2 + ا س2 + 2 ب س2 + 2 ب س × س د ومن حيث ان الخط ب د قد انقسم في س فلنا (ق 3 ك 2) ب س2 + ب س × س د = ب س × ب د و 2 ب س2 + 2 ب س × س د = 2 ب س × ب د فإذاً ا ب2 + ب س2 = ا س2 + 2 ب س × ب د وا س2 هو أصغر من ا ب2 + ب س2 بمسطح 2 ب د × ب س

ثالثاً ليكن الضلع ا س عموداً على ب س فيكون ب س الجزء بين العمود والزاوية الحادَّة عند ب والامر واضح (ق 47 ك 1) ان ا ب2 + ب س2 = ا س2 + 2 ب س2 = ا س2 + 2 ب س × ب س



القضية الرابعة عشرة.ع


علينا ان نرسم مربَّعاً يعدل شكلاً مفروضاً ذا اضلاع مستقيمة

زوايا قائمة ب ي د س واجعلهُ يعدل (ق 45 ك 1) فان كان ضلعاهُ ب ي ي د متساويين فهو المربع المطلوب وإلا فاخرج ب ي إلى ف واجعل ي ف يعدل ي د ونَصِّفْ ب ف في غ ومن المركز وعلى البعد غ ف أو غ ب ارسم دائرة ب ح ف وأخرج د ي إلى ح وارسم ح غ فلانَّ الخط المستقيم ب ف قد انقسم إلى قسمين متساويين في غ وغير متساويين في ي فالقائم الزوايا ب ي × ي ف مع مربع ي غ يعدل مربع غ ف (ق 5 ك 2) و غ ف يعدل غ ح فالقائم الزوايا ب ي × ي ف مع مربع ي غ يعدل مربع غ ح ومربع غ ح يعدل مربع ح ي مع مربع ي غ أطرح المشترك مربع ي غ فالباقي القائم الزوايا ب ي × ي ف يعدل مربع ح ي و ب د يعدل ب ي × ي ف لان ي د = ي ف فالشكل ب د يعدل مربع ح ي و ب د يعدل الشكل ا فمربع ح ي يعدل الشكل ا فإذا رُسم على ح ي مربعٌ فهو يعدل الشكل المفروض



مضافات




قضية ا.ن


إذا تنصَّف ضلعٌ من أضلاع مثلثٍ فمجتمع مربَّعَي الضلعين الآخرين يعدل مضاعف مربع نصف الضلع المتنصف مع مضاعف مربع الخط المرسوم من نقطة الانتصاف إلى الزاوية المقابلة

ليكن ا ب س مثلثاً ولينصف الضلع ب س منهُ في د وارسم د ا إلى الزاوية المقابلة فمجمتمع مربعي ب ا ا س يعدل مضاعف مربًّعي ب د د ا

من ا ارسم ا ي عموداً على ب س فمن حيث أن ب ي ا قائمة ا ب2 (ق 47 ك 1) = ب ي2 + ي ا2 و ا س2 = س ي2 + ي ا2 و ا ب2 + ا س2 = ب ي2 + س ي2 + 2 ا ي2 ومن حيث أن الخط المستقيم ب س قد انقسم إلى قسمين متساويين في د وغير متساويين في ي فلنا (ق 9 ك 2) ب ي2 + س ي2 = 2 ب د2 + 2 د ي2 فإذاً ا ب2 + ا س2 = 2 ب د2 + 2 د ي2 + 2 ا ي2.

ولكن د ي2 + ا ي2 = ا د2 (ق 47 ك 1) و د ي2 = 2 ا د2 فإذاً ا ب2 + ا س2 = 2 ب د2 + 2 ا د2



قضية ب.ن


في كل ذي أضلاع متوازية مجتمع مربَّعَي القطرين يعدل مجتمع مربعات الاضلاع

ليكن ا ب س د شكلا متوازي الاضلاع فمجتمع مربعي القطرين ا س ب د يعدل مجتمع مربعات الاضلاع ا ب ب س س د د ا

لتكن النقطة ي موضع تقاطع القطرين. فمن حيث أن الزاويتين المتقابلتين ا ي د س ي ب هما متساويتان (ق 15 ك 1) والمتبادلتان ي ا د ي س ب متساويتان أيضاً (ق 29 ك 1) والمتبادلتان ي ا د ي س ب متساويتان أيضاً (ق 29 ك 1) فلنا في المثلثين ا د ي س ي ب زاويتان من الواحد تعدلان زاويتين من الآخر والضلعان اللذان يقابلان الزاويتين المتساويتين متساويان أي ا د و ب س (ق 34 ك 1) فالضلعان الآخران متساويان (ق 26 ك 1) أي ا ي = ي س و ي د = ي ب

فمن حيث أن ب د قد تنصف في ي لنا (ق 1 ك 2) ا ب2 + ا د2 = 2 ب ي2 + 2 ي ا2 وهكذا أيضاً د س2 + س ب2 = 2 ب ي2 + 2 ي س2 = 2 ب ي2 + ا ي2 لانَّ ي س = ا ي فإذاً ا ب2 + ا د2 + د س2 + س ب2 = 4 ب ي2 + 4 ا ي2 و 4 ب ي2 = ب د2 و 4 ا ي2 = ا س2 (فرع 2 ق 8 ك 2) لانَّ ب د و ا س قد تنصَّفا في ي فإذاً ا ب2 + ا د2 + د س2 + س ب2 = ب د2 + ا س2

فرعٌ. في كل شكل متوازي الاضلاع أحد القطرين ينصّف الآخر

تعليقة. لو كان الشكل معيَّناً لكان ا ب ب س متساويين والثلثان ب ي س د ي س متساويين أيضاً لانَّ أضلاع الواحد تعدل أضلاع الآخر أي كل ضلع في الواحد يعدل نظيره في الآخر وكانت الزاويتان ب ي س د ي س متساويتين. وفي شكل معين كل واحد من القطرين هو عمودٌ على الآخر

===========

الكتاب الثالث

​كتاب في الأصول الهندسية​ المؤلف كرنيليوس فانديك

الكتاب الثالث

الكتاب الرابع←




حدود


نصف قطر دائرة هو خطٌ مستقيم مرسوم من المركز إلى المحيط مماسُّ دائرةٍ هو خط مستقيم يلاقي المحيط في نقطة واحدة وإذا أخرج فلا يقطعها. وتلك النقطة تسمى نقطة المماسَّة
إذا التقى محيطا دائرتين بدون أن يتقاطعا يقال أن الدائرة الواحدة تمسُّ الاخرى
خطوط مستقيمة على بُعد واحد من المركز دائرة هي التي كانت العموديَّات منها إلى المركز متساوية
والخط المستقيم الذي يقع عليهِ العمود الاطول هو الابعد عن المركز
القوس هو جزء من محيط دائرة. والخط المستقيم الموصل بين طرفَي قوسٍ يسمى وَتًراً
متى كان طرفاً خط مستقيم في محيط دائرة قيل أنه مرسوم في الدائرة وكل خط مستقيم يلاقي المحيط في نقطتين يسمى قاطعاً
كل جزء من دائرة يحيط بهِ قوسٌ ووترهُ يسمى قِطْعَةً
زاويةٌ في قطعة هي الحادثة بين خطين مستقيمين مرسومين من أية نقطة كانت من القوس إلى طرفَي الوتر. ومثلث في دائرة هو ما كانت زواياهُ الثلاث في المحيط. وعلى الاطلاق كل شكل في دائرة هو ما كانت زواياهُ في المحيط. ويقال أن الدائرة تحيط بهِ
الزاوية عند المركز هي التي يحيط بها خطان مستقيمان من المركز إلى المحيط
قِطاع دائرة هو الشكل الذي يحيط بهِ خطان مستقيمان من المركز إلى المحيط والقوسُ الواقع بين طرفيهما
القِطَع المتشابهة هي ما كانت الزوايا الحادثة فيها متساوية



القضية الاولى.ع


علينا أن نجد مركز دائرة مفروضة لتكن ا ب س الدائرة المفروضة. علينا أن نجد مركزها أرسم فيها خطّاً مستقيماً مثل ا ب ونصفه في د (ق 1 ك 1) ارسم د س عموداً على ا ب (ق 11 ك 1) واخرجهُ إلى ي ونَصِّفْ س ي في ق فتكون النقطة ق مركز الدائرة ا ب س

والاَّ فلتكن النقطة غ مركزها وارسم غ ا غ د غ ب. فمن حيث ان د ا = د ب و د غ مشترك بين المثلثين غ د ا غ د ب فالضلعان ا د يعدلان الضلعين ب د د غ أي كل واحد يعدل نظيره والقاعدة غ ا تعدل القاعدة غ ب لان كل واحدة منهما نصف قطر من دائرة واحدة فالزاوية ا د غ = غ د ب (ق 8 ك 1) فتكون كل واحدة منهما قائمة (حد 7 ك 1) فإذاً غ د ب قائمة ولكن ق د ب قائمة فإذاً غ د ب = ق د ب أي الأصغر يعدل الأكبر وذاك محال فلا تكون النقطة غ مركز الدائرة وهكذا يبرهن في كل نقطة ما عدا النقطة ق فهي اذاً مركز الدائرة ا ب س

فرع. يتضح من هذه القضية أنهُ إذا كان خطٌّ عمودياً على اخر في دائرة ونصفه فالمركز في الخط المُنَصِّف



القضية الثانية.ن


إذا فرضت نقطتان في محيط دائرة فالخط المستقيم الموصل بينهما واقعٌ داخل الدائرة

لتكن ا ب س دائرة ولتفرض في محيطها نقطتان مثل ا و ب وليوصل بينهما بالخط المستقيم ا ب فهو داخل الدائرة

في الخط ا ب أفرض أية نقطة كانت مثل ي واستعلم د مركز الدائرة ا ب س (ق 1 ك 3) وارسم الخطوط المستقيمة ا د د ب د ي واخرج د ي حتى يلاقي المحيط في ف فمن حيث أن د ا = د ب فالزاوية د ا ب = الزاوية د ب ا (ق 5 ك 1) ومن حيث أن ا ي ضلع من المثلث د ي ا وقد أُخرج إلى ب فالزاوية الخارجة د ي ب هي أكبر من د ا ي (ق 16 ك 1) فهي أكبر من د ب ا أيضاً أو د ب ي والزاوية الكبرى يقابلها الضلع الاطول (ق 19 ك 1) فإذاً د ب هو أطول من د ي ولكن د ب = د ف فإذاً د ف هو أطول من د ي أي النقطة ي هي داخل الدائرة وهكذا يبرهن في كل نقطة في الخط ا ب فهو اذاً داخل الدائرة

فرع. كل نقطة في ما يزاد على ا ب خارج الدائرة



القضية الثالثة.ن


كل خطٌ مستقيم مار بمركز دائرة إذا نصَّف خطَّا آخر مستقيماً داخل الدائرة غير مار بالمركز فإنهُ يُحدِث معهُ قائمتين. وإذا احدث معهُ قائمتين ينصفهُ

لتكن ا ب س دائرة و س د خطَّا مستقيماً ماراً بمركزها ولينصف الخط المستقيم ا ب الذي لا يمر بالمركز في النقطة فإنه يحدث معهُ قائمتين

استعلم مركز الدائرة ي (ق 1 ك 3) وارسم ا ي ب ي فمن حيث ان ا ق = ق ب و ي ق مشترك بين المثلثين ا ق ي ب ق ي فضلعان من الواحد يعدلان ضلعين من الاخر والقاعدة ا ي تعدل القاعدة ي ب والزاوية ا ق ي تعدل الزاوية ب ق ي (ق 8 ك 1) فكل واحدة منهما قائمة (حد 7 ك 1) فالخط المستقيم د س الذي يمر بمركز الدائرة والذي ينصف الغير المار بالمركز ا ب يحدث معهُ قائمتين

ثم لنفرض ان الخط المستقيم س د يحدث مع ا ب قائمتين فهو ينصفهُ أيضاً أي ا ق يعدل ق ب. تمم الشكل حسبما تقدم فمن حيث ان ا ي يعدل ي ب فالزاوية ي ا ق تعدل ي ب ق (ق 5 ك 1) والقائمة ا ق ي تعدل القائمة ب ق ي والضلع ي ق مشترك بين المثلثين ا ق ي ب ق ي وهو يقابل الزاويتين المتساويتن (ق 26 ك 1) فالمثلثان متساويان والضلع الباقي من الواحد يعدل الباقي من الاخر أي ا ق = ق ب

فرع اول. العمود على نصف الوتر يمر بالمركز

فرع ثان. العمود على نصف الوتر إذا أخرج حتى يلاقي المحيط من طرفيهِ فهو قطر. ونقطة انتصافهِ هي مركز الدائرة



القضية الرابعة.ن


إذا تقاطع خطان مستقيمان في دائرة ولا يمرَّان بالمركز فلا يتنصفان معاً

لتكن ا ب س د دائرة و ا س ب د خطَّين مستقيمين فيها يتقاطعان في النقطة ي ولكن لا يمرَّان بالمركز فلا ينصف بعضهما بعضاً وإلا فاذا كان يمكن ليكن ا ي ي س متساويين و ب ي ي د كذلك. فان مر أحدهما بالمركز فالامر واضح انهُ لا يتنصَّف بالاخر الذي لا يمر بالمركز. وان لم يمر أحدهما بالمركز فاستعلم المركز ق (ق 1 ك 3) وارسم ق ي فمن حيث أن الخط المار بالمركز ق ي ينصف اخر الذي لا يمر بالمركز ا س فيحدث معهً قائمتين (ق 3 ك 3) فتكون ق ي ا قائمة. ومن حيث ان ق ي ينصف ب د الذي لا يمر بالمركز فيحدث معهُ قائمتين (ق 3 ك 3) فتكون ق ي ب قائمة و ق ي ا تعدل ق ي ب أي الاصغر يعدل الأكبر وذاك محال فاذاً ا س ب د لا ينصف بعضهما بعضاً



القضية الخامسة.ن


إذا تقاطعت دائرتان لا يكون لهما مركز واحد

فمن حيث ان ي مركز الدائرة ا ب س فنصف القطر ي س يعدل نصف القطر ي ق. وإيضاً من حيث ان ي مركز الدائرة س د غ فنصف القطر ي س يعدل نصف القطر ي غ. وقد تبرهن ان س ي يعدل ي ق فاذاً ي ق يعدل ي غ أي الجزء يعدل الكلَّ وذاك محال فلا يمكن ان تكون النقطة ي مركز الدائرتين



القضية السادسة.ن


إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من داخلها فلا يكون لهما مركزٌ واحدٌ

لتكن ا ب س د ي س دائرتين ولتمس احداهما الاخرى في س فلا يكون لهما مركز واحد

وإلاَّ فلتكن النقطة ق مركزهما. ارسم ق س وارسم خطَّا آخر مثل ق ي ب يلاقي المحيطين في ي و ب. فمن حيث ان ق مركز الدائرة ا ب س فنصف القطر ق س يعدل نصف القطر ق ب. وأيضاً لان ق مركز الدائرة د ي س فنصف القطر ق س يعدل نصف القطر ق ي. وقد تبرهن ان ق س يعدل ق ب فإذاً ق ي يعدل ق ب أي الجزء يعدل الكل وذاك محال فلا تكون النقطة ق مركز الدائرتين



القضية السابعة.ن


إذا فرضت نقطة في قطر دائرة غير المركز فاطول الخطوط المستقيمة التي يمكن رسمها من تلك النقطة إلى المحيط هو الذي يقع فيهِ المركز أي قسم القطر. واقصرها هو القسم الاخر من القطر واما بقية الخطوط التي ترسم من تلك النقطة إلى المحيط فالاقرب إلى القسم من القطر المارّ بالمركز هو الاطول ولا يُرسم من تلك النقطة إلى المحيط أكثر من خطَّين متساويين أي واحد على الجانب الواحد من القطر والاخر على الجانب الآخر منهُ

لتكن ا ب س ك دائرة و ا د قطرها ولنفرض فيه نقطة ف غير المركز ولتكن ي المركز فبين كل الخطوط التي يمكن رسمها من ف إلى المحيط فالخط ف ا هو الاطول و ف د هو الاقصر ومن البقية فالخط ف ب أطول من ف س و ف س أطول من ف غ وهلم جرَّا. ارسم ب ي غ ي فمن حيث ان ضلعين من اضلاع مثلث هما معاً أطول من الثالث (ق 20 ك 1) فالضلعان ب ي ي ف هما أطول من ب ف و ا ي يعدل ب ي فإذاً ا ي ي ف مشترك بين المثلثين ب ي ف س ي ف فالضلعان ب ي ي ف يعدلان س ي ي ف ولكن الزاوية ب ي ف هي أكبر من س ي ف فالقاعدة ب ف هي أطول من القاعدة س ف (ق 24 ك 1) ولهذا السبب س ف أطول من ع ف. وأيضاً من حيث أن غ ف ف ي هما معاً أطول من غ ي (ق 20 ك 1) و ي غ يعدل ي د فإذاً غ ف ف ي معاً هما أطول من د ي أطرح الجزء المشترك ف ي فالبقية غ ف أطول من البقية د ف فإذاً ف ا هو اطول الخطوط التي يمكن رسمها من ف إلى المحيط و ف د أقصرها و ف ب أطول من ف س و ف س أطول من ف غ وهلمَّ جرَّا

كذلك لايمكن أن يُرسَم من ف إلى المحيط على جانبي ف د أكثر من خطين متساويين. عند ي أجعل الزاوية ف ي ح حتى تعدل غ ي ف وارسم ف ح. فمن حيث ان غ ي يعدل ي ح و ي ف مشترك بين المثلثين غ ي ف ح ي ف فالضلعان غ ي ي ف معاً يعدلان ح ي ي ف والزاوية غ ي ف تعدل ح ي ف فالقاعدة ف غ تعدل القاعدة ف ح (ق 4 ك 1) ولا يمكن أن يُرسَم خط اخر غير ف ح يعدل ف غ من ف إلى المحيط وإلا فليكن ذلك الخط الآخر ف ك فمن حيث ان ف ك يعدل ف غ و ف غ يعدل ف ح فإذاً ف ك يعدل ف ح أي الخط الاقرب إلى الذي يمر بالمركز يعدل الأبعد وذلك لا يمكن كما تقدم برهانه



القضية الثامنة.ن


إذا فرضت نقطة خارج دائرة ورسم منها خطوط مستقيمة إلى المحيط ومرَّ احدها بالمركز فاطول الخطوط الواقعة على مقعر الدائرة هو المار بالمركز ومن البقية فالاقرب إلى المار بالمركز هو أطول من الابعد عنهُ ومن الخطوط الواقعة على محدَّب الدائرة فالاقصر هو أقصر من الابعد عنهُ. ولا يرسم اكثر من خطين متساويين من النقطة المفروضة إلى المحيط وذلك على جانبي الخط الاقصر

لتكن ا س ن دائرة و د نقطة مفروضة خارجها ولترسم الخطوط المستقيمة د ا د ي د ق د س إلى المحيط وليمر الخط د ا بالمركز. فمن الخطوط الواقعة على محدَّب المحيط ح ل ك غ فالاقصر هو د ع بين النقطة المفروضة د والقطر هو د ع بين النقطة المفروضة د والقطر ا غ والاقرب إلى هذا يعني د ك هو أقصر من د ل و د ل أقصر من د ح وهلمَّ جرَّا

استعلم م مركز الدائرة (ق 1 ك 3) وارسم م ي م ق م س م ح م ل م ك. فمن حيث ان م ا يعدل م ي فاذا أضيف م د إلى كل واحد منهما لنا د ا يعدل د م مع م ي و د م و م ي هما أطول من د ي (ق 20 ك 1) فإذاً د ا هو أطول هذه الخطوط و د ي هو أطول من د ق و د ق أطول من د س. فإذاً د ا هو أطول هذه الخطوط و د ي هو أطول من د ق و د ق أطول من د س. ثم من حيث ان م ك ك د هما أطول من م د (ق 20 ك 1) و م غ يعدل م ك فالبقية ك د هي أطول من البقية غ د (أولية 5) اعني د غ هو أقصر من د ك ومن حيث ان م ك د ك قد رُسما إلى النقطة ك داخل المثلث م ل د وذلك من م و د طرفي قاعدتهِ م د فالخطان م ك ك د معاً هما أقصر من م ل ل د معاً (ق 21 ك 1) و م ك يعدل م ل فالبقية ك د هي أقصر من البقية ل د وهكذا يبرهن ان د ل هو أقصر من د ح وهلمَّ جرَّا

كذلك لا يُرسم إلا خطان متساويان من د إلى المحيط وذلك على جانبي الاقصر فعند النقطة م من الخط م د أجعل الزاوية د م ب حتى تعدل د م ك وارسم د ب فلنا في المثلثين ك د م ب د م الضلعان المتساويان ب م ك م والضلع المشترك د م والزاوية ب م د تعدل الزاوية ك م د فالضلع الاخر د ك يعدل الاخر د ب (ق 4 ك 1) ولا يُرسم خط أخر غير د ب حتى يعدل د ك أعني من د إلى المحيط

وان كان ممكناً فليكن د ن ذلك الخط فمن حيث ان د ن يعدل د ك و د ك يعدل د ب فإذاً د ن يعدل د ب يعني الاقرب إلى د غ يعدل الابعد عنهُ وقد تبرهن أن ذاك غير ممكن



القضية التاسعة.ن


إذا فُرِضَتْ داخل دائرة نقطةٌ يُرسم منها إلى المحيط أكثر من خطين مستقيمين متساويين فتلك النقطة هي مركز الدائرة

لتفرض النقطة د في الدائرة ا ب س التي منها يقع على المحيط أكثر من خطين مستقيمين متساويين د ا د ب د س فالنقطة د هي مركز الدائرة. وإلا فلتكن النقطة ي المركز. أرسم د ي واخرجهُ إلى المحيط في ف و غ فيكون الخط ف غ قطراً ومن حيث أنهُ قد تعيَّن في القطر نقطة اعني د التي ليست هي مركز الدائرة فالخط د ف هو أطول الخطوط التي يمكن رسمها من تلك النقطة إلى المحيط (ق 7 ك 3) و د س هو أطول من د ب و د ب أطول من د ا وقد فُرضت مساواتها فذاك محال فإذاً لا يمكن أن تكون ي المركز وهكذا يبرهن في كل نقطة غير د. فهي المركز



القضية العاشرة.ن


لا يمكن ان تقطع دائرةٌ دائرةً اخرى في اكثر من نقطتين

ان كان ممكناً ليقطع المحيطُ ف ا ب المحيطَ د ي ف في أكثر من نقطتين أعني في ب و غ و ف. استعلم ك مركز الدائرة ا ب س وارسم ك ب ك غ ك ف. فمن حيث أنهُ قد تعينت النقطة ك داخل الدائرة د ي ف ووقع منها على المحيط أكثر من خطين الدائرة د ي ف ووقع منها على المحيط أكثر من خطين مستقيمين متساويين أعني ك ب ك غ ك ف فهي أعني ك مركز الدائرة د ي ف (ق 9 ك 3) وهي أيضاُ مركز ا ب س أي دائرةٌ تقطع دائرةً اخرى ولهما مركز واحد وذاك لا يمكن (ق 5 ك 3) فلا يمكن تقطع دائرةٌ دائرةً اخرى في أكثر من نقطتين



القضية الحادية عشرة.ن


إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من داخلها فالخط المستقيم الموصل بين مركزيهما إذا أخرج يمرُّ بنقطة المماسَّة

لتكن ا ب س ا د ي دائرتين ولتمس احداهما الاخرى في النقطة ا وليكن ق مركز الدائرة ا ب س و غ مركز الدائرة ا د ي فالخط الوصل بين ق و غ ا د أخرج يمر بنقطة المماسة ا

وإلا فليقع على نقطة أخرى أن كان ممكناً مثل الخط ق غ د ح. ثم ارسم ا غ ا ق. فمن حيث ان الضلعين ا غ غ ق هما معاً اطول من ا ق (ق 20 ك 1) او ق ح لانَّ ق ح ق ا نصفا قطرٍ لدائرة واحدة فإذا طرح الجزء المشترك ق غ فالباقي غ ا يعدل الباقي غ ح ولكن ا غ يعدل غ د فإذاً غ د يعدل غ ح اعني الجزء يعدل الكل وذاك محال. فالخط الموصل بين المركزين لا يمكن وقوعهُ مثل الخط ق غ د ح وهكذا يبرهن في كل خط ما عدا الذي يقع على النقطة ا

فرعٌ اول. إذا مست دائرةٌ دائرةً اخرى من داخلها فالبعد بين مركزيهما يعدل فضلة نصفي قطريهما لان المحيطين يمرَّان بنقطة واحدة في الخط الموصل بين المركزين

فرعٌ ثانٍ. بالقلب إذا عدل البعدُ بين المركزين فضلة نصفي القطرين فالدائرة الواحدة تمسُّ الاخرى من داخلها



القضية الثانية عشرة.ن


إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من خارجها فالخط المستقيم الموصل بين مركزيهما يمرُّ بنقطة المماسَّة

لتكن ا ب س ا د ي دائرتين ولتمس أحداهما الاخرى ا وليكن ق مركز الدائرة ا ب س وليكن غ مركز الدائرة ا د ي فالخط المستقيم الموصل بين ق و غ يمر بنقطة المماسة

وإلا فليقع على نقطة المماسة مثل الخط ق س د غ ارسم ا غ ا. فمن حيث ان ق مركز الدائرة ا ب س فالخط ق س يعدل ق ا و غ مركز ا د ي فالخط غ د يعدل غ ا فإذاً غ ا ا ق معاً يعدلان ق س غ د معاً فالكل ق غ أطول من ق ا ا غ معاً وذلك لا يمكن (ق 20 ك 1) وهكذا يبرهن في كل خط غير الذي يمر بنقطة المماسة

فرعٌ. إذا مسَّت دائرةٌ دائرةً اخرى من خارجها فالبعد بين مركزيهما يعدل مجتمع نصفي قطريهما وبالقلب إذا عدل بعد مركزيهما مجتمع قطريهما فالواحدة تمس الاخرى من خارجها



القضية الثالثة عشرة.ن


دائرة لا تمس اخرى في أكثر من نقطة واحدة أن كان من داخل أو من خارج

ان كان يمكن لتمس الدائرة ي ب ق الدائرة ا ب س في أكثر من نقطة واحدة وأولاً من داخل في ب و د ارسم الخط ب د وارسم ح غ عموداً عليهِ (ق 7 وق 11 ك 1) ولينصفهُ أيضاً.

فمن حيث ان ب و د هما في محيط كل واحدة من الدائرتين فالخط المستقيم ب د واقع داخل كل واحدة منهما (ق 2 ك 3) ومركزاهما في الخط العمودي عليهِ المنصفهُ (فرع ق 1 ك 3) فإذاً غ ح يمر بنقطة المماسة (ق 11 ك 3) وهو لا يمرُّ بهما لانَّ ب و د خارجتان عن الخط المستقيم غ ح فلا يمكن ان تمس الدائرة الاخرى في أكثر من نقطة واحدة من داخل ولا يمكن ذلك من خارج. فان كان يمكن فلتمس الدائرة ا ش د الدائرة ا ش ب في ا و ش ارسم ا ش فالنقطتان ا و ش هما في محيط الدائرة ا ش د فيكون الخط ا ش كلهُ داخل ا ش د و ا ش د خارج ا ش ب فيكون ا ش خارج ا ش ب أيضاً ومن حيث ا و ش هما في محيط ا ش ب فالخط ا ش هو داخل ا ش ب (ق 2 ك 3) وقد تبرهن أنهُ خارجها وذاك محال فلا تمس دائرةٌ دائرةً اخرى من خارج في أكثر من نقطة واحدة



القضية الرابعة عشرة.ن


خطوطٌ مستقيمة متساوية في دائرةٍ هي على بعد واحدٍ من المركز وخطوط مستقيمة على بعد واحد من المركز هي متساوية

ليكن ا ب و س د خطَّين مستقيمين متساويين في الدائرة ا ب د س فهما على بعدٍ واحدٍ من المركز. استعلم المركز ي (ق 1 ك 3) وارسم ي ق ي غ عمودين على ا ب و س د وارسم أيضاً ا ي و س ي. فمن حيث ان الخط المستقيم المار بالمركز اعني ي ق يجعل مع ا ب الذي لا يمر بالمركز زاوية قائمة فهو ينصفهُ أيضاً (ق 3 ك 3) فإذاً ا ق يعدل ق ب اعني ا ب هو مضاعف ا ق. وهكذا أيضاً يبرهن أن س د مضاعف س غ. و ا ب يعدل س د فإذاً ا ق يعدل س غ. ومن حيث أن ا ي يعدل ي س فمربع ا ي يعدل مربع ي س ومجتمع مربعي ا ق ق ي يعدل مربع ا ي (ق 47 ك 1) لان ا ق ي قائمة وهكذا أيضاً مجتمع مربعي س غ غ ي يعدل مربع س ي. فمربعا ا ق ق ي يعدلان مربعي س غ غ ي ومربع س غ يعدل مربَّع ا ق لان س غ يعدل ي ق فإذاً ا ب و س د هما على بعد واحد من المركز (حد 3 ك 3)

ثم إذا فرض أنهما على بعد واحد من المركز أعني أن ق ي يعدل غ ي فهما متساويان لانهُ يبرهن على ذات الاسلوب السابق ان ا ب مضاعف ا ق و س د مضاعف س غ وان مجتمع مربعي ا ق ق ي يعدل مجتمع مربَّعي س غ غ ي ومربع ق ي يعدل مربع غ ي فمربع الباقي ا ق يعدل مربع الباقي س غ و ا ق يعدل س غ و ا ب مضاعف ا ق و س د مضاعف س غ فإذاً ا ب يعدل س د



القضية الخامسة عشرة.ن


القطر هو أطول الخطوط التي تُرسم في دائرة أما البقية فالأقرب إلى المركز أطول من الابعد عنهُ والاطول هو أقرب إلى المركز من الأقصر

لتكن ا ب س د دائرة و ا د قطرها و ي مركزها وليكن ب س خطَّا فيها وليكن اقرب إلى المركز من الخط ف غ فالقطر ا د أطول من أي خط آخر رسم في الدائرة و ب س أطول من ف غ

أرسم ي ح عموداً على ب س و ي ك عموداً على ف غ وارسم ي ف ي ب ي س. فمن حيث أن ا ي يعدل ب ي و ي د يعدل ي س فالكل ا د يعدل ب ي مع ي س و ب ي مع ي س أطول من ب س (ق 20 ك 1) فإذاً ا د أطول من ب س

ومن حيث أن ب س أقرب إلى المركز من ف غ فالعمود ي ح أقصر من العمودي ك (حد 4 ك 3) و ب س هو مضاعف ب ح (ق 14 ك 3) و ف غ مضاعف ف ك ومجتمع مربعي ب ح ح ي يعدل مجتمع مربعي ف ك ك ي ومربع ي ح أصغر من مربع ي ك فيكون مربع ح ب أكبر من مربع ك ف فإذاً ب ح أطول من ك ف و ب س أيضاً أطول من ف غ

ثم ليُفرّض ان ب س اطول من ف غ فهو أيضاً أقرب إلى المركز منهُ فمن حيث ان ب س أطول من ف غ فإذاً ب ح أطول من ف ك ومجتمع مربعي ف ك ك ي يعدل مجتمع مربَّعي ب ح ح ي ومربع ب ح أكبر من ف ك فيكون مربع ي ح أصغر من مربع ب ح ح ي ومربع ب ح أكبر من ف ك فيكون مربع ي ح أصفر من مربع ي ك أعني ي ح أقصر من ي ك فإذاً (حد 4 ك 3) ب س أقرب إلى المركز من ف غ

فرعٌ. الوتر الاقصر هو الابعد عن المركز وبالقلب الوتر الابعد عن المركز هو الاقصر



القضية السادسة عشرة.ن


الخط المستقيم العمودي على طرف قطر دائرة هو واقعٌ خارج الدائرة ولا يرسم خط مستقيم من طرف القطر بين ذاك العمود ومحيط الدائرة بدون أن يقطع المحيط

لتكن ا ب س دائرة و د مركزها و ا ب قطرها وليُرسَم ا ي عموداً على ا ب من النقطة ا فهو واقع خارج الدائرة

عين في ا ي أية نقطة شئت مثل ق وارسم ق د الذي يقطع المحيط في س. فمن حيث ان د ا ق قائمة فهي اكبر من ا ق د (ق 32 ك 1) والزاوية الكبرى يقابلها الضلع الاطول (ق 19 ك 1) فإذاً د ق أطول من د ا و د ا يعدل د س

فإذاً د ق أطول د س فالنقطة ق واقعة خارج الدائرة وهي أية نقطة كانت من الخط ا ي فهو اذاً خارج الدائرة

كذلك لا يُرسم بين ي ا والمحيط خطٌ مستقيم من النقطة ا الذي لا يقطع المحيط. ارسم غ ا في الزاوية د ا ي. وارسم د ح عموداً على ا غ. فمن حيث ان د ح ا قائمة و د ا ح أصغر من قائمة فالضلع د ح أقصر من الضلع د ا (ق 19 ك 1) فالنقطة ح هي داخل الدائرة فالخط ا غ قاطع الدائرة

فرع أول. الخط العمودي على طرف قطر دائرة هو يمسُّ الدائرة ويمسها في نقطة واحدة فقط لانهُ لو لاقاها في نقطتين لوقع داخل الدائرة (ق 2 ك 3) اكثر من مماسٍ واحد في نقطة واحدة من الدائرة

فرع ثانٍ. العمود على طرف القطر هو مماس للدائرة وبالقلب المماس عمودي على طرف القطر

فرع ثالث. مماسان من طرفي القطر هما متوازيان (فرع ق 28 ك 1) وبالقلب مماسان متوازيان هما عموديان على طرفي القطر



القضية السابعة عشرة.ع


علينا ان نرسم خطَّا مستقيماً من نقطة مفروضة في محيط دائرة أو خارج المحيط حتى يماس دائرةً مفروضة

أولاً لتكن ا النقطة المفروضة خارج الدائرة ب س د فعلينا ان نرسم منها خطاً مستقيماً يماس الدائرة

استعلم المركز ي (ق 1 ك 3) وارسم ا ي واجعل ي مركزاً و ي ا نصف قطر وارسم الدائرة ا ف ج ومن د ارسم د ف عموداً على ى ا (ق 11 ك 1) وارسم ي ب ف وأيضاً ا ب فالخط ا ب يماس الدائرة

لان ي مركز الدائرتين ب س د ا ف ج فنصف القطر ي ا يعدل ي ف و ي د يعدل ي ب فالضلعان ا ي ي ب يعدلان الضلعين ف ي ي د ولهما الزاوية عند ي المشتركة بين المثلثين ا ي ب ف ي د فالقاعدة ا ب تعدل القاعدة د ف والمثلث ا ي ب يعدل المثلث ف ي د وبقية زوايا الواحد تعدل بقية زوايا الآخر (ق 4 ك 1) فالزواية ي ب ا تعدل ي د ف ولكن ي د ف قائمة فإذاً ي ب ا قائمة أيضاً والخط ي ب قد رُسم من المركز و ا ب عمود عليهِ فهو إذاً مماس (فرع 2 ق 16 ك 3) وقد رسم من النقطة المفروضة

ثم إذا كانت النقطة المفروضة في محيط الدائرة مثل د فارسم د ي إلى المركز ي وارسم د ف عموداً على طرفهِ فهو مماس (فرع اول ق 16 ك 3)

تعليقة. متى كانت النقطة ا خارج المحيط يرسم مماسان متساويان منها لانهُ إذا أخرج المماس ف د حتى يلاقي المحيط ا ج ثم إذا رُسم خط من المركز إلى نقطة الملاقاة وآخر من ا إلى موضع تقاطع الخط الاول والمحيط ب د س يحدث مثلث ذو قائمة يعدل ا ب ي



القضية الثامنة عشرة.ن


إذا مسَّ خطٌ مستقيم دائرة فالخط المستقيم المرسوم من المركز إلى نقطة المماسة هو عمودٌ على الخط المماس

لتكن ا س ب دائرة وليمسَّها الخط المستقيم د ي في س. استعلم المركز ق وارسم ق س فالخط المستقيم ق س أنما هو عمود على د ي وإلا فمن ق ارسم ق ب ج عموداً على د ي فتكون ق ج س قائمة فتكون ج س ق حادَّة (ق 17 ك 1) والضلع الاطول يقابل الزاوية الكبرى (ق 19 ك 1) فالضلع ق س أطول من الضلع ق ج ولكن ق س يعدل ق ب فإذاً ق ب اطول من ق ج أعني الجزء اعظم من كلهِ وذاك محال فلا يمكن أن يكون ق ج عموداً على د ي وهكذا يبرهن في كل خط ما عدا ق س فهو عمود على د ي



القضية التاسعة عشرة.ن


إذا مسَّ خطٌ مستقيم دائرةً ورُسِم من نقطة المماسة خطٌ مستقيم عمودٌ على المماس فمركز الدائرة واقع في ذلك الخط العمودي

ليكن الخط المستقيم د ي مماسَّا للدائرة ا ب س ومن نقطة المماسَّة س ليرسم س ا عموداً على د ي فمركز الدائرة واقع في الخط س ا

وإلا فلتكن ق المركز ارسم ق س فحسب القضية السابقة ق س هو عمودٌ على د ي و ق س ي قائمة ولكن ا س ي أيضاً قائمة فإذاً ا س ي تعدل ق س ي أعني الكل يعدل جزءهُ وذاك محال فلا يمكن أن تكون ق المركز وهكذا يبرهن في كل نقطة لا تقع في الخط س فالمركز واقع في الخط س ا



القضية العشرون.ن


الزاوية عند مركز دائرة هي مضاعف الزاوية عند المحيط إذا كانتا على قاعدة واحدة أعني على جزء واحدٍ من المحيط

لتكن ا ب س دائرة و ب د س الزاوية عند المركز و ب ا س الزاوية عند المحيط وكلتاهما على جزء واحدٍ من المحيط ب س فالزاوية ب د س إنما هي مضاعف ب ا س

أولاً ليكن د مركز الدائرة داخل الزاوية ب ا س ارسم ا د واخرجهُ إلى ي. فمن حيث أن د ا يعدل د ب فالزاوية د ا ب تعدل الزاوية د ب ا (ق 5 ك 1) فالزاويتان د ب ا د ا ب هما معاً مضاعف د ا ب والزاوية ب د ي تعدل د ا ب د ب ا معاً (ق 32 ك 1) فإذاً ب د ي هي مضاعف د ا ب وهكذا يبرهن ان ي د س فالكل ب د س مضاعف الكل ب ا س

ثم ليكن المركز خارج الزاوية ب ا س. ارسم ا د واخرجهُ إلى ي. فيبرهن كما تقدم أن الزاوية ي د س هي مضاعف د ا س وأن ي د ب جزءا من الاولى مضاعف د ا ب جزء من التالية فالباقية ب د س مضاعف الباقية ب ا س



القضية الحادية والعشرون.ن


الزوايا في قطعة واحدة من دائرة هي متساوية

لتكن ا ب س د دائرة و ب ا د ب ي د زاويتين في قطعة واحدة منها ب ا ي فهما متساويتان

استعلم ق مركز الدائرة وأولاً لتكن القطعة ب ا ي د أكبر من نصف دائرة. أرسم ب ق د ق فالزاوية ب ق د عند المركز هي مضاعف الزاوية ب ا د عند المحيط لانهما على قاعدة واحدة ب س د (ق 20 ك 3) و ب ق د أيضاً مضاعف ب ي د فإذاً س ا د تعدل ب ي د

ثم إذا كانت القطعة ب ا ي د أصغر من نصف دائرة. أرسم ا ق إلى المركز واخرجهُ إلى س وارسم س ي فالقطعة ب ا د س هي أكبر من نصف دائرة والزاويتان فيها ب ا س ب ي س متساويتان حسبما تقدم و س ب ي د أيضاً أكبر من نصف دائرة والزاويتان فيها س ا د س ي د متساويتان أيضاً فالكل ب ا د يعدل الكل ب ي د



القضية الثانية والعشرون.ن


إذا رُسِم في دائرة شكلٌ ذو اربعة ضلاع فالزاويتان المتقابلتان منهُ يعدلان معاً قائمتين

ليكن ا د س ب ذا اربعة أضلاع في دائرة فكل اثنتين متقابلتين من زواياهُ تعدلان معاً قائمتين. ارسم ا س و د ب فالزاوية س ا ب تعدل س د ب (ق 21 ك 3) والزاوية ا س ب تعدل ا د ب فالكل ا د س يعدل الزاويتين س ا ب ا س ب. اضف إلى كل واحدة منهما ا ب س فلنا ا ب س مع ا د س تعدل ا ب س مع س ا ب مع ب س ا وهذه الثلاث تعدل قائمتين (ق 32 ك 1) فإذاً ا ب س ا د س معاً تعدلان قائمتين. وهكذا يبرهن أن د ا ب د س ب تعدلان قائمتين

فرعٌ اول. إذا أخرج ضلعٌ من شكل ذي أربعة أضلاع مرسوم في دائرة فالزاوية الخارجة تعدل الداخلة المتقابلة

فرعٌ ثانٍ. شكل ذو أربعة أضلاع كل زاويتين متقابلتين منهُ لا تعدلان قائمتين لا يرسم في دائرة



القضية الثالثة والعشرون.ن


لا تكون قطعتان متشابهتان على جانبٍ واحدٍ من خطٍّ مستقيم بدون أن تتطابقا

أن كان ممكناً لتكن ا س ب ا د ب قطعتين متشابهتين على جانب واحد من الخط المستقيم ا ب وغير متطابقتين. فمن حيث أن الدائرتين ا د ب ا س ب تتقاطعان في ا و ب فلا يمكن أن تتقاطعا في نقطة اخرى (ق 10 ك 3) وبالضرورة تقع احدي القطعتين داخل الاخرى فلتقع ا س ب داخل ا د ب وارسم الخط ب س د وأيضاً س ا و د ا. فمن حيث أن القطعتين متشابهتان أعني تحتويان زوايا متساوية (حد 9 ك 3) فالزاوية الخارجة ا ي ب تعدل الداخلة المقابلة ا د ب وذاك لا يمكن (ق 16 ك 1)



القضية الرابعة والعشرون.ن


قطع متشابهة على خطوط مستقيمة متساوية هي متساوية

لتكن ا ي ب س ق د قطعتين متشابهتين على خطين مستقيمين متساويين ا ب و س د فهما متساويتان لانهُ إذا وضعت القطعة ا ي ب على القطعة س ق د بحيث تقع النقطة ا على النقطة س والخط ا ب على الخط س د فالنقطة ب تقع على النقطة د لأن ا ب يعدل س د فبالضرورة تطبق القطعة ا ي ب على القطعة س ق د (ق 23 ك 3) فتعدلها



القضية الخامسة والعشرون.ع


إذا فُرضت قطعة من دائرة فعلينا أن نتممها

لتكن ا ب س قطعة دائرة فعلينا ان نتمم الدائرة نصف ا س في د (ق 10 ك 1) ومن د ارسم د ب عموداً على ا س (ق 11 ك 1) وارسم ا ب

ثم اولاً لتكن الزاويتان ا ب د ب ا د متساويتين فالخط ا د يعدل ب د (ق 6 ك 1) ويعدل د س أيضاً فالخطوط الثلاثة ا د د ب د س هي متساوية فتكون د مركز الدائرة (ق 9 ك 3) واذا جعلت د مركزاً وواحداً من هذه الخطوط الثلاثة نصف قطر تتم الدائرة التي كانت ا ب س قطعة منها. ومن حيث ان المركز واقع في ا س فالقطعة ا ب س انما هي نصف دائرة

ثم لتكن الزاويتان ا ب د ب ا د غير متساويتين ارسم الزاوية ب ا ى حتى تعدل ا ب د (ق 23 ك 1) وان لزم فاخرج ب د إلى ي وارسم ي س. فمن حيث ان ب ا ى تعدل ا ب ى فالخط ا ى يعدل ب ى (ق 6 ك 1) ومن حيث ان ا د يعدل د س و د ى مشترك بين المثلثين ا د ى س د ي فالضلعان ا د د ي يعدلان الضلعين س د د ى اعني كل واحد يعدل نظيرهُ والزاوية ا د ى تعدل س د ي لانهما قائمتان فالقاعدة ا ى تعدل القاعدة ى س (ق 4 ك 1) و ا ى يعدل ب ي حسبما تقدم فالخطوط الثلاثة ا ي ب ي س ي متساوية و ى مركز الدائرة (ق 9 ك 3) التي كانت ا ب س قطعة منها واذا كانت الزاوية ا ب د اكبر من ب ا د فالامر واضح ان المركز واقع خارج القطعة ا ب س اعني انها اصغر من نصف دائرة

واذا كانت ا ب د أصغر من ب ا د فالمركز واقع داخل القطعة اعني هي اكبر من نصف دائرة وهكذا تتم الدائرة اذا فُرِضَت قطعة منها



القضية السادسة والعشرون.ن


زوايا متساوية في دوائر متساوية هي على اقواس متساوية ان كانت تلك الزوايا في المركز او في المحيط

لتكن ا ب س د ي ف دائرتين متساويتين و ب غ س ي ح ف زاويتين متساويتين في المركز و ب ا س ى د ف زاويتين متساوينين في المحيط. فالقوس ب ك س يعدل القوس ي ل ف ارسم الوترين ب ي ف. فمن حيث ان الدائرتين متساويتان فالخطوط المستقيمة المرسومة من مركزيهما متساوية. فالخطًّان ب غ غ س يعدلان ي ح ح ف والزاوية ب غ س تعدل ي ح ف فالقاعدة ب س تعدل القاعدة ى ف (ق 4 ك 1) ومن حيث ان الزاوية عند ا تعدل الزاوية عند فالقطعة ب ا س تشابه القطعة ى د ف (حد 9 ك 3) وهما على الخطين المتساويين ب س ى ف والقِطَع المتشابهة على خطوط متساوية هي متساوية (ق 24 ك 3) فالقطعة ب ا س تعدل القطعة ى د ف. ولكن كل الدائرة ب ا س تعدل الكل ى د ف فالبقية ب ك س تعدل البقية ى ل ف



القضية السابعة والعشرون.ن


زوايا واقعة على اقواس متساوية في دوائر متساوية هي متساوية ان كانت في المركز أو في المحيط

في الدائرتين المتساويتين ا ب س د ي لتكن الزاويتان في المركز ب غ س ى ح ق والزاويتان في المحيط ب ا س ى د ق على القوسين المتساويين ب س ي ق فالزاوية ب غ س تعدل ي ح ق و ب ا س تعدل ي د ق الزاوية ب غ س اذا عدلت ي ح ق فالامر واضح (ق 20 ك 3) أن ب ا س تعدل ي د ق وإلاَّ فتكون احداهما أكبر من الاخرى. لتكن ب غ س أكبرهما وعلى النقطة غ من الخط المستقيم ب غ ارسم الزاوية ب غ ك حتى تعدل ي ح ق (ق 23 ك 1). فمن حيث ان الزوايا المتساوية عند المركز هي على اقواس متساوية (ق 26 ك 3) فالقوس ب ك يعدل القوس ي ق. وقد فُرِض ان ى ق يعدل ب س قالقوس ب ك يعدل ب س أيضاً اي الاصغر يعدل الاكبر وذاك محال. فلا يمكن ان تكون ب غ س ي ح ق غير متساويتين اي هما متساويتان. والزاوية عند ا هي نصف الزاوية ب غ س والزاوية عند د هي نصف ي ح ق فالزاوية عند ا تعدل الزاوية عند د



القضية الثامنة والعشرون.ن


خطوط مستقيمة متساوية في دوائر متساوية تقطع اجزاءً متساوية الأكبر يعدل الأكبر والأصغر يعدل الأصغر

ليكن ب س ي ف خطين مستقيمين متساويين في دائرتين متساويتين ا ب س د ي ف وليقطعا القوسين الأكبرين ب ا س ي د ف والأصغرين ب ر س ي ت ف فالقوس ب ا س يعدل ي د ف و ب ر س يعدل ى ت ف

استعلم المركزين ح و ل (ق 1 ك 3) وارسم ح ب ح س ل ى ل ف. فمن حيث ان الدائرتين متساويتان فالخطوط المستقيمة المرسومة من مركزيهما هي متساوية فالخطَّان ب ح ح س يعدلان ى ل ل ف وقد فُرِض ان القاعدة ب س تعدل القاعدة ي ف فالزاوية ب ح س تعدل الزاوية ي ل ف (ق 8 ك 1) والزوايا المتساوية عند المركز هي على اقواس متساوية (ق 27 ك 3) فالقوس ب ر س يعدل القوس ى ت ف والدائرة ا ب س تعدل الدائرة د ى ف فالباقي ب ا س يعدل الباقي ي د ف



القضية التاسعة والعشرون.ن


اقواس متساوية في دوائر متساوية تقابلها خطوطٌ مستقيمة متساوية

لتكن ا ب س د ي ق دائرتين متساويتين والقوسان ب ر س ي ت ق متساويان فالخطان المستقيان المقابلان لهما ب س ي ق أيضاً متساويان

استعلم المركزين ح و ل (ق 1 ك 3) وارسم ح ب ح س ل ي ل ق. فمن حيث ان القوس ب ر س يعدل القوس ي ت ق والزاوية ب ح س تعدل الزاوية ي ل ق (ق 27 ك 3) و ح ب ح س يعدلان ل ي ل ق لانها أَنصاف اقطار دائرتين متساويتين فالقاعدة ب س تعدل القاعدة ى ق (ق 4 ك 1)



القضية الثلاثون.ع


علينا ان ننصَّف قوساً مفروضاً اي ان نقسمهُ إلى قسمين مماثلين

ليكن ا د ب القوس المفروض. فعلينا ان ننصفهُ ارسم ا ب ونصفه في س (ق 10 ك 1) وارسم س د عموداً على ا ب وارسم ا د د ب فقد تنصَّف القوس ا د ب في النقطة د

لان ا س يعدل س ب و س د مشترك بين المثلثين ا س د ب س د والزاوية ا س د تعدل الزاوية ب س د لأن كل واحدة منهما قائمة فالقاعدة ا د تعدل القاعدة ب د (ق 4 ك 1) والخطوط الستقيمة المتساوية تقطع اقواساً متساوية (ق 28 ك 3) والأكبر يعدل الأكبر والأصغر يعدل الأصغر وكل واحد من ا د ب د أصغر من نصف دائرة لأنَّ د س يمر بالمركز (فرع ق 1 ك 3) فالقوس ا د يعدل القوس د ب فقد تنصف ا د ب في د

تعليقة. وعلى هذه الكيمية كل واحد من النصفين ا د د ب بتنصف أيضاً فيقسم قوس مفروض إلى اربعة او ثمانية اجزاء او إلى ستة عشر جزءاً متساوية وهلمَّ جرا



القضية الحادية والثلاثون.ن


الزاوية المرسومة في نصف دائرة هي قائمة والمرسومة في قطعة أكبر من نصف دائرة هي أصغر من قائمة والمرسومة في قطعة أصغر من نصف دائرة هي أكبر من قائمة

لتكن ا ب س د دائرة و ب س قطرها و ي مركزها. ارسم س ا الذي يقسم الدائرة إلى قطعتين ا ب س ا د س وارسم ب ا ا د د س. فالزاوية في نصف الدائرة ب ا س هي قائمة والزاوية في القطعة ا ب س التي هي أكبر من نصف الدائرة فاصغر من قائمة والزاوية في القطعة ا د س التي هي أصغر من نصف الدائرة فأكبر من قائمة

ارسم ا ى واخرج ب ا إلى ف. فمن حيث ان ب ي يعدل ا ى فالزاوية ي ا ب تعدل ي ب ا (ق 5 ك 1) ولانَّ س ي يعدل ا ي فالزاوية ي س ا تعدل ي ا س فالكل ب ا س يعدل الزاويتين ا ب س ا س ب. ولكن الزاوية ف ا س الخارجة من المثلث ا ب س تعدل الزاويتين ا ب س ا س ب (ق 32 ك 1) فالزاوية ب ا س تعدل ف ا س وكل واحدة منها قائمة (حد 7 ك 1) فالزاوية ب ا س في نصف الدائرة انما هي قائمة

ومن حيث ان الزاويتين ا ب س ب ا س من الثلث ا ب س هما معًا اقل من قائمتين (ق 17 ك 1) و ب ا س قائمة فتكون ا ب س أصغر من قائمة فالزاوية في القطعة ا ب س التي هي أكبر من نصف دائرة هي أصغر من قائمة

ومن حيث ان ا ب س د هو ذو اربعة اضلاع في دائرة فكل اثنتين من زواياهُ المتقابلة تعدلان قائمتين (ق 22 ك 3) فالزاويتان ا ب س ا د س تعدلان معاً قائمتين وقد تبرهن ان ا ب س أصغر من قائمة فتكون ا د س أكبر من قائمة

فرع. يتضح من هذه القضيَّة ان زاوية واحدة من مثلث ان عدلت مجتمع الاخريين فهي قائمة لانَّ الزاوية التي تليها تعدل الاخريين أيضاً ومتى كانت الزاويتان المتواليتان متساويتين فكل واحدة منهما قائمة



القضية الثانية والثلاثون.ن


اذا مسّ خطٌ مستقيم دائرة ورسم من نقطة الماسَّة خطٌ مستقيم قاطع الدائرة فالزوايا الحادثة بين الماس والقاطع تعدل الزوايا في القطع المتبادلة من الدائرة

ليكن الخط المستقيم ي ف مماسّاً للدائرة ا ب س د ومن ب نقطة المماسة ليُرسَم الخط المستقيم ب د قاطعها فالزاوية ف ب د تعدل الزاوية في القطعة د ا ب المتبادلة والزاوية د ب ي تعدل الزاوية في القطعة ب س د المتبادلة

من النقطة ب ارسم ب ا عموداً على ي ف (ق 11 ك 1) وفي القوس ب د عيّن أية نقطة شئت كالنقطة س وارسم الخطوط المستقيمة ا د د س س ب. فمن حيث ان الخط المستقيم ى ف يمس الدائرة ا ب س د في النقطة ب وقد رُسِم ب ا عموداً على المماس من نقطة المماسة فمركز الدائرة في الخط ب ا (ق 19 ك 3) والزاوية ا د ب هي في نصف دائرة وهي قائمة (ق 31 ك 3) والزاويتان الاخريان د ا ب ا ب د تعدلان قائمة (ق 32 ك 1) والزاوية ا ب ف قائمة فتعدل الزاويتين ب ا د ا ب د. اطرح الزاوية المشتركة ا ب د فالباقية د ب ف تعدل الباقية ب ا د في القطعة المتبادلة الدائرة. ومن حيث ان الشكل ا ب س د ذو اربعة أضلاع في دائرة فالزاويتان المتقابلتان ب ا د ب س د معاً تعدلان قائمتين (ق 22 ك 3) ولذلك تعدلان أيضاً د ب ف د ب ى (ق 13 ك 1) وقد تبرهن أن د ب ف تعدل ب ا د فالباقية د ب ي تعدل الباقية ب س د في القطعة المتبادلة من الدائرة



القضية الثالثة والثلاثون.ع


علينا ان نرسم على خطٍ مستقيم مفروض قِطْعَةَ دائرةٍ فيها زاوية تعدل زاوية بسيطة مفروضة

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض و س الزاوية المفروضة. علينا ان نرسم على ا ب قطعة دائرة فيها زاوية تعدل الزاوية عند س

اولاً لتكن الزاوية عند س قائمة نصف ا ب في ف (ق 10 ك 1) ثم اجعل ف مركزاً و ف ب بعداً وارسم الدائرة ا ح ب فالزاوية ا ح ب انما هي قائمة لانها في نصف دائرة (ق 31 ك 3) وهي تعدل الزاوية القائمة عند س

ثانيًا ان لم تكن الزاوية س قائمة فعند النقطة ا من الخط ا ب اجعل الزاوية ب ا د تعدل س (ق 22 ك 1) ومن النقطة ا ارسم أي عموداً على ا د (ق 11 ك 1) نصف ا ب في ق (ق 10 ك 1) ومن ق ارسم ق غ عموداً على ا ب (ق 11 ك 1) وارسم غ ب. فمن حيث ان ا ق يعدل ق ب و ق غ مشترك بين المثلثين ا ق غ ب ق غ فالضلعان ا ق ق غ يعدلان الضلعين ب ق ق غ والزاوية ا ق غ تعدل ب ق غ فالقاعدة ا غ تعدل القاعدة غ ب (ق 4 ك 1) والدائرة المرسومة على المركز غ وعلى البعد غ ا تمرُّ في النقطة ب. فلتكن ا ح ب هذه الدائرة. فمن حيث انهُ قد رُسِم ا د عموداً من طرف القطر ا ى فهو مماس الدائرة (فرع اول ق 16 ك 3) ومن حيث انهُ قد رُسم القاطع ا ب من نقطة المماسَّة فالزاوية د ا ب تعدل الزاوية في القطعة ا ح ب المتبادلة (ق 32 ك 3) والزاوية د ا ب تعدل الزاوية عند س فالزاوية عند س تعدل الزاوية في القطعة ا ح ب. فقد رُسِم على الخط المستقيم المفروض ا ب قطعة دائرة فيها زاوية تعدل الزاوية المفروضة عند س



القضية الرابعة والثلاثون.ع


علينا ان نقطع من دائرة مفروضة قِطعةً فيها زاوية تعدل زاوية بسيطة مفروضة

لتكن ا ب س الدائرة المفروضة و د الزاوية البسيطة المفروضة. علينا ان نقطع من الدائرة ا ب س قطعةً فيها زاوية تعدل الزاوية عند د. ارسم المماسَّ ي ف (ق 17 ك 3) حتى يمسَّ الدائرة في النقطة ب ومن النقطة ب في الخط ي ف اجعل الزاوية ف ب س تعدل د (ق 23 ك 1). فمن حيث ان الخط المستقيم ي ف يمسُّ الدائرة ا ب س وقد رُسِم من نقطة المماسَّة الخط ب س قاطعاً فالزاوية ف ب س تعدل الزاوية في القطعة ب ا س المتبادلة (ق 32 ك 3) والزاوية ف ب س تعدل الزاوية عند فالزاوية في القطعة ب ا س تعدل الزاوية عند د فقد قُطِعَتْ من الدائرة ا ب س القطعة ب ا س فيها زاوية تعدل الزاوية المفروضة عند د



القضية الخامسة والثلاثون.ن


اذا تقاطع خطَّان مستقيمان في دائرةٍ فالقائم الزوايا مسطح قسمَي احدهما يعدل القائم الزوايا مسطح قسمَي الآخر

ليتقاطع الخطان المستقيان ا س ب د في الدائرة ا ب س د في النقطة ي في فالقائم الزواياا ي في ي س يعدل القائم الزوايا ب ي في ي د

اذا مرَّ كل واحد منهما في المركز وكان ذلك المركز ي فالامر واضح أن الخطوط ا ي ي س ب ي ي د متساوية والقائم الزوايا ا ي في ي س يعدل القائم الزوايا ب ي في ي د

ثم لنفرض مرور احدهما ب د في المركز وليكن عموداً على الآخر ا س الذي لا يمرُّ بالمركز وليقطعهُ في النقطة ي. فاذا تنصف ب د في ق فالنقطة ق هي مركز الدائرة (فرع ق 1 ك 3) ارسم ا ق. فمن حيث ان الخط ب د المار بالمركز هو عمود على ا س الذي لا يمر بالمركز ويقطعهُ في ي فالقسمان ا ي ي س متساويان (ق 3 ك 3) ومن حيث ان الخط المستقيم ب د قد انقسم إلى قسمين متساويين في ق وغير متساويين في ي (ق 5 ك 2) فالقائم الزوايا ب ي × ي د + ي ق2 = ق ب2 = ا ق2 ولكن ا ق2 = ا ي2 + ي ق2 (ق 47 ك 1) فالقائم الزوايا ب ي × ي د + ي ق2 = ا ي2 + ي ق2. اطرح ي ق2 من الجانبين فالباقي ب ي × ي د =ا ي2 = اى × ى س

ثم لنفرض ان ب د الذي يمر بالمركز يقطع ا س الذي لا يمر بالمركز في النقطة ي ولكنه ليس عموداً عليهِ. فإذا تنصف ب د في ق فالنقطة ق هي مركز الدائرة. ارسم ا ق ومن ق ارسم ق غ عموداً علي ا س (ق 12 ك 1) فالقسم ا غ يعدل القسم غ س (ق 3 ك 3) فالقائم الزوايا ا ي × ي س + ي غ2 = ا غ2.

اضف إليهما غ ق2 فالقائم الزوايا ا ي × ي س + غ ي2 + غ ق2 = ا غ2 + غ ق2 و ا غ2 + غ ق2 = ا ق2 و ي غ2 + غ ق2 = ي ق2 فالقائم الزوايا ا ي × ي س + ي ق2 = ا ق2 = ق ب2 و ق ب2. و ق ب2 = ب ي × ي د + ي ق2 (ق 5 ك 2) فالقائم الزوايا ا ي × ي س + ي ق2 = ب ي × ي د + ي ق2. أطرح ي ق2 من الجانبين فالباقي ا ي × ي س = ب ي × ي د

اخيراً ان لم يمرَّ احد الخطين المستقيمين 1 س ب د في المركز فاستعلم المركز ق ومن ي نقطة تقاطع الخطين ا س ب د ارسم القطر غ ي ق ح فكما تقدم ا ي × ي س = غ ي × ي ح و ب ي × ي د = غ ي × ي ح فحسب الاولية الأولى ا ي × ى س = ب ي × ي د



القضية السادسة والثلاثون.ن


اذا رُسِم من نقطةٍ خارج دائرةٍ خطَّان مستقيان احدهما يقطع الدائرة والآخر يمسُّها فالقائم الزوايا مسطح كل الخط القاطع في القسم منهُ الواقع خارج الدائرة يعدل مربَّع الخط المماس

لتكن د نقطةً خارج الدائرة ا ب س وليُرسم منها الخط المستقيم د س ا حتى يقطع الدائرة والخط المستقيم د ب حتى يمسَّها فالقائم الزوايا ا د × د س يعدل مربع دب

اولا لنفرض ان د س ا يمر بالمركز. ارسم ي ب فالزاوية ي ب دانما هي قائمة (ق 18 ك 3) ومن حيث ان الخط المستقيم ا س وقد تنصَّف في ي وأخرج إلى د فالقائم الزوايا ا د × د س + ي س2 = ي د2 (ق 6 ك 2) و ي س = ي ب فالقائم الزوايا ا د × د س + ي ب2 = ي د2 ولكن ي د2 = ي ب2 + ب د2 (ق47 ك 1) فالقائم الزوايا ا د × د س + ي ب2 = ي ب2 + ب د2. اطرح من الجانبين ي ب2 فالباقي ا د × د س = ب د2

ثانياً ان لم يمر د س ا في مركز الدائرة ا ب س فاستعلم المركزى (ق 1 ك 3) وارسم ي ق عموداً على ا س (ق 12 ك 1) وارسم ي ب ي س ي د. فمن حيث ان الخط المستقيم المار بالمركز ي ق هو عمود على الخط المستقيم ا س الذي لا يمر بالمركز فهو ينصفهُ إيضاً (ق 3 ك 3) فالقسم ا ق يعدل القسم ق س. فمن حيث ان الخط المستقيم ا س قد تنصَّف في ق واخرج إلى د (ق 6 ك 2) فالقائم الزوايا ا د × د س +ق س2 = ق د2. أضف إليهما ق ي2 فالقائم الزوايا ا د × د س + ق س2 + ق ي2 = ق د2 + ق ي2 و ي س2 = ق س2 + ق ي2 و ي د2 = ق د2 + ق ي2 (ق 47 ك 1) لان د ق ي قائمة. فالقائم الزوايا ا د × د س + ي س2 = ي د2. ومن حيث ان ي ب د قائمة ي د2 = ي ب2 + ب د2 = ي س2 + ب د2 فالقائم الزوايا ا د × د س + ي س2 = ى س2 + ب د2 و ا د × د س = ب د2

فرعٌ اول. اذا رُسِم من نقطةٍ خارج دائرة خطَّان قاطعان مثل ا ب ا س فالشكلان القائما الزوايا مسطحا كل خط في القسم منه الواقع خارج الدائرة هما متساويان فالقائم الزوايا ب ا × ا ي = س ا × ا ق لان كل واحد منهما يعدل مربَّع الخط المستقيم ا د الذي يمسُّ الدائرة

فرع ثانٍ. مماسَّان مرسومان من نقطة واحدة متساويان

فرع ثالث. بما ان نصف القطرالواقع نقطة المماسة هو عمود على المماس فبالضرورة الزاوية الواقعة بين مماسَّين مرسومين من نقطة واحدة لتنصف بخط مستقيم مرسوم من مركز الدائرة تلك النقطة لانهُ وترٌ مشتركٌ بين مثلثين متساويين قائمي الزاوية



القضية السابعة والثلاثون.ن


إذا رُسِم من نقطة خارج دائرة خطان مستقيمان احدهما يقطع الدائرة يلاقيها فالقائم الزوايا مسطحُ كل الخط القاطع في الجزء منه الواقع خارج الدائرة ان عدل مربَّع الخط الذي يلاقيها فذلك الخط مماسُّ الدائرة

لتكن نقطةً خارج الدائرة ا ب ي وليُرسَم منها الخط المستقيم د س ا حتى يقطع الدائرة والخط المستقيم د ب حتى يلاقيها فالقائم الزوايا ا د × د س ان عدل مربَّع د ب فالخط يمس الدائرة

ارسم الخط المستقيم د ي حتى يمسَّ الدائرة (ق 17 ك 3) واستعلم المركز ق وارسم ق ب ق د ق ي فالزاوية ق ي د قائمة (ق 18 ك 3) ومن حيث ان د ي يمسُّ الدائرة ا ب س و د س ا يقطعها فالقائم الزوايا ا د × س د يعدل مربَّع د ي (ق 36 ك 3) وقد فُرِض ان القائم الزوايا ا د × د س يعدل مربع د ب فربَّع د ي يعدل مربع د ب والخط المستقيم د ي يعدل الخط المستقيم د ب. و ق ي = ق ب فالخطان د ي ي ق يعدلان د ب ب ق والقاعدة د ق مشتركة بين المثلثين د ب ق د ي ق فالزاوية د ي ق تعدل الزاوية د ب ق (ق 8 ك 1) ولكن د ي ق انما هي قائمة فالزاوية د ب ق أيضاً قائمة و ب ق إذا أُخرج يكون قطراً للدائرة والخط الذي يُحدِث مع القطر من طرفهِ زاوية قائمة فهو يمسُّ الدائرة (ق 16 ك 3) فالخط د ب هو مماسُّ الدائرة ا ب س



مضافات إلى الكتاب الثالث




قضية ا.ن


قطرُ الدائرة يقسمها وحيطَها الى قسمين مماثلين وبالقلب الخط الذي يقسم الدائرة الى قسمين متماثلين هو قطرٌ

ليكن ا ب قطر الدائرة ا ي ب د فالقسمان ا ي ب ا د ب متماثلان محيطاً ومساحةً. فان وُضِع الشكل ا ي ب على الشكل ا د ب وبقيت قاعدتهما المشتركةا ب على وضعها فالخط المنحني ا ي ب يقع على الخط المنحني ا د ب وإلا لكانت في احدهما نُقَط مختلفة البعد عن المركز وذلك خلاف حد الدائرة وبالقلب الخط الذي يقسم الدائرة إلى قسمين متماثلين هو قطرٌ

لنفرض ان ا ب بقسم الدائرة ا ي ب د إلى قسمين متماثلين فان لم يكن المركز في ا ب فليُرْسَم ا ف ماراً في المركز. فهو إذاً قطرٌ ويقسم الدائرة إلى قسمين متاثلين. فالقسم ا ي ف يعدل القسم ا ى ف ب وذاك محال

فرعٌ. قوسٌ وَتَرُهُ قطرٌ هو نصف محيطٍ. والشكل المحاط بهذا القوس مع وَتَرَهِ هو نصف دائرة



قضية ب.ن


يمكن ان تُرْسَم دائرة واحدة محيطها مارٌ بثلاث نُقَطٍ مفروضة أن لم تكن في خطٍ واحد مستقيم. ولا ترسم الاَّ دائرة واحدة محيطها مارٌّ بهذه النُّقَط الثلاث

لتكن ا ب س النقط الثلاث المفروضة ولا تكون فى خطٍ واحدِ مستقيم فهي في محيط دائرة واحدة

ارسم ا ب و ب س ونصفهما في د و ي بالعمودين د ق ي ق اللذين لا بدَّ من التقائهما في نقطة ما كالنقطة ق. لأنَّهُ لو كانا متوازيين لكان د ب ب ي متوازيين أيضاً (فرع 2 ق 29 ك 1) أو كانا في خط واحد مستقيم ولكنهما التقيا في ب و ا ب س ليس خطَّا مستقيماً حسب المفروض اولاً. ارسم ق ا ق س ق ب. فمن حيث أن ق ا ق ب يلاقيان ا ب على بعد واحد من العمود فهما متساويان. ولهذا السبب ق ب ق س متساويان أيضاً فالنقط الثلاث ا ب س هي على بعد واحد من النقطة ق وواقعة في محيط دائرة مركزها ق ونصف قطرها ق ا

ولأمر واضح انهُ لا يمر بهذه النقط محيطٌ آخر. لأَنَّ المركز واقع في العمود د ق الذي ينصف الوَتَر ا ب. وهو أيضاً في العمود ق ي الذي ينصف الوَتَر ب س (فرع 1 ق 3 ك 3) فلا بدَّ من وقوعهِ عند نقطة تقاطع هذَين العمودين وحيث لا يكون إلا مركز واحد لا يكون إلا محيط واحد



قضية ج.ن


اذا اتقاطعت دائرتان فالخطُّ المستقيم المارُّ بمركزيهما هو عمودٌ على الوتر الموصل بين نقطتي التقاطع وينصّفه

ليكن س د الخط المستقيم الموصل بين مركزى دائرتين مقاطعتين. فهو عمود على الوَتَر ا ب الموصل بين نقطتَي التقاطع لأنَّ الخط ا ب الموصل بين نقطتي التقاطع هو وَتَرٌ مشترك بين الدائرتين وإذا رُسِم عمودٌ من وسط هذا الوَتَر يمّرُ بكل واحد من المركزين س و د (فرع 1 ق 3 ك 3) ولا يمكن ان يُرسَم اكثر من خط واحد مستقيم مارً بنقطتين مفروضتين. فالخط المارُّ بمركزيهما ينصّف الوَتَر ويُحدِث معهُ قائمتين أي يكون عموداً عليهِ

فرعٌ. الخط المستقيم الموصل بين نقطتي تقاطع دائرتين هو عمودٌ على الخط المستقيم الموصل بين مركزيها

تعليقة.اولاً. إذا تقاطعت دائرتان فالبعد بين مركزيهما هو أقصر من مجتمع نصفَي قطريهما. ونصف القطر الأطول هو اقصر من مجتمع نصف القطر الاقصر مع البُعد بين المركزين. لأنَّ س د هو أقصر من س ا + ا د (ق 20 ك 1) و ا د < ا س + س د

ثانياً. بالقلب إذا كان البعد بين مركزي دائرتين اقل من مجتمع نصفي قطريهما وكان نصف القطر الاطول اقصر من نصف القطر الاقصر مع البعد بين المركزين فالدائرتان تتقاطعان

لانهُ لكي يكون النقاطع ممكناً يلزم أن يكون المثلث س ا د ممكناً ولذلك يلزم أن يكون س د < ا س + ا د وان يكون نصف القطر الاطول ا د < ا س + س د. وإذا كان المثلث ا س د ممكناً فالأمر واضح ان الدائرتين المرسومتين على المركزين س و د تتقاطعان في ا و ب

فرعٌ اول. إذا كان البعد بين مركزّي دائرتين أكثر من مجتمع نصفَي قطريهما فالدائرتان لا تتقاطعان

فرعٌ ثان.إذا كان البُعد بين المركزين أقل من فضلة نصفَى القطرين فالدائرتان لا تتقاطعان لأنَّ ا س + س د > ا د فإذاً س د > ار - ا س اي ضلعٌ من مثلث أطول من فضلة الضلعين الآخرين. فالمثلث غير ممكن متى كان البعد بين المركزين أقل من فضلة نصفي القطرين فلا يمكن عند ذلك أن تتقاطع الدائرتان



قضية د.ن


في دائرةٍ واحدة الزوايا التماثلة في المركز تقابلها اقواسٌ متماثلة وبالقلب الاقواس المتماثلة تقابل الزوايا المتماثلة في المركز

لتكن س مركز الدائرة. والزاوية ا س د فلتعدل ب س د. فالقوس ا ف د الذي يقابل الزاوية الواحدة يعدل القوس ب ر د الذي يقابل الزاوية الاخرى

ارسم ا د ود ب. فالمثلتان ا س د ب س د هما متساويان لأَنَّ ضلعين وزاوية من الواحد تعدل ضلعين وزاوية من الآخر فإذا وُضِع احدهما على بتطابقان والنقطة ا تقع على النقطة ب. والنقطة د انما هي مشتركة بين القوسين. قطرنا القوس ا ف د يقعان على طرفَي القوس ب ر د فلا بُذَّ من مطابقة بقية اجزائهما لأَنَّها على بُعدٍ واحدٍ من المركز

وبالقلب لنفرض مساواة القوسين ا ف د ب ر د. فالزاوية ا س د = ب س د. لأَنَّهُ اذا وُضِع احد القوسَين على الآخر يتطابقان. وطرفا الوَتَر ا د يقعان على طرفَي الوَتَر ب د فالوتران متساويان (ق 8 ك 1) والزاوية ا س د = ب س د

فرعٌ اول. الزوايا المتساوية في المركز يقابلها اوتارٌ متساوية. وبالقلب الاوتار المتساوية تقابل زوايا متساوية في المركز

فرعٌ ثان. الاوتار المتساوية تقابل اقواساً متساوية. وبالقلب الاقواس المتساوية تقابل اوتاراً متساوية

فرعٌ ئالث. إذا تنصَّفت الزاوية في المركز فالقوس والوتر اللذان يقابلانها بتنصفان أيضاً

فرعٌ رابع. العمود على وسط الوَتَر ينصف الزاوية في المركز ويمر أيضاً بوسط القوس الذي بقابلهُ الوتر

تعليقة. المركز س والنقطة ي التي وسط الوَتَر ا ب والنقطة د التي هي وسط القوس الذي يقابلهُ الوتر المذكور هي ثلث نُقط في خطٍ عموديٍ على الوَتَر. ولكن الخط المستقيم يتعيَّن وضعهُ بنقطتَين. فكل خط يمرُّ باثنتين من هذه النقط الثلاث يمرُّ بثالثها أيضاً ويكون عموداً على الوتر



قضية هـ.ن


قوسان بين خطين متوازيين ها متساويان. وبالقلب إذا وقع بين خطين مستقيمين غير متقاطعين في الدائرة قوسان متساويان فالخطَّان متوازيان

لهذه القضية ثلاثة احوال

الاول متى كان الخطَّان المتوازيان مماسَّين مثل ا ب و س د. فكل واحد من القوسين بينهما نصف دائرة لأَنَّ نقطتَى المماسَّة هما طرفا القطر ( فرع 3 ق 16 ك 3)

الثاني متى كان احد الخطَّين مماسَّا مثل ا ب والآخر وتراً مثل غ ح. وهو عمودٌ على ف ي الذي ينصف القوس غ ي ح (فرع 4 ق د ك 3) فالقوسان بينهما غ ى ح ى متساويان

ثالثًا متى كان الخطان المتوازيان وَترَين مثل غ ح و ل م

فلنفرض ان القطر ف ي عمودٌ على غ ح. فيكون عموداً على ل م أيضاً لانهما متوازيان. والقطر ينصّف كل واحد من القوسين اللذين يقابلان هذين الوترين ا ي غ ي = ح ي ول ي = م ي فبالضرورة ل ي - غ ي = م ي - ح ي أي غ ل - ح م

ثم بالقلب. إذا كان الخطَّان ا ب س د مماسَّين وكان القوسان ي ل ف ي م ف متساويين يكون ي ف قطراً (ق 1 ك 3) وا ب س د متوازيين (فرع 3 ق 16 ك 3)

واذاكان احدهما ا ب مماسَّا والآخر غ ح قاطعاً وكان القوسان ي غ ي ح متساويين يكون القطر ف ي الذي ينصف القوس غ ي ح عموداً على وترو غ ح (تعليقة ق د ك 3) وعلى مماسّهِ ا ب فهما متوازيان

وإذا كان كلا الخطَّين قاطعاً مثل غ ح و ل م وكان القوسان غ ل ح م بينهما متساويين فلنفرض ان القطر ف ي ينصّف احدهما مثل غ ح فهو ك فهو ينصّف القوس غ ي ح أيضاً أي ي غ = ي ح وقد فُرِض ان غ ل = ح م فالكل ي ل = الكل ي م فالوتر ل م قد تنصف بالقطر ف ي. فقد تنصّف كلا الوترين بالقطر ف ي وهمااذ ذاك عمودان عليهِ ومتوازيان (فرع ق 28 ك 1)

تعليقة. لا بُدَّ ان يشترط في هذه القضية أن الخطين لا بتقاطعان فى الدائرة لأَنّ خطَّين مستقيمين مارين في غ م و ح ل يقطعان اقواساً متساوية غ ل ح م ولا يكونان متوازيين



قضية و.ع


عليناان نرسم مماسَّا في نقطة مفروضة من قوس دائرة بدون استعلام المركز

لتكن ب النقطة المفروضة. قس جزءين متماثلين من القوس مثل ب س س د. ارسم ب د وأيضاً الوترين ب س س د واجمل الزاوية س ب ا تعدل س ب د (ق 23 ك 1) فيكون الخطُّ المستقيم ب ا المماس المطلوب

لأَنَّ الزاوية س ب د = س د ب فالزاوية س ب ا = ى د ب (ق 32 ك 3) التي هي في القطعة المتبادلة فإذاً ب ا هو مماس في النقطة ب




=============

الكتاب الربع الكتاب الرابع

الكتاب الخامس←




حدود


في شكلين أضلاعمها مستقيمة متى كانت زوايا احدهما في اضلاع الآخر يقال ان الواحد مرسومٌ في الآخر
اذا مرَّت اضلاع شكلٍ في زوايا شكلٍ آخر يقال ان الواحد يحيط بالآخر
متى كانت زوايا شكلٍ ذي اضلاع مستقيمة في محيط دائرة يقال ان الشكل مرسوم في الدائرة
شكلٌ ذو اضلاع مستقيمة يحيط بدائرة متى كانت اضلاعهُ مماسات لمحيط الدائرة
إذا مسَّ محيط دائرة كلَّ ضلعٍ من اضلاع شكلٍ ذي اضلاع مستقيمة يقال انها مرسومة في الشكل
الدائرة تحيط بشكلٍ ذي اضلاع مستقيمة متى مرَّ محيطها بزوايا الشكل
إذا انتهى طرفا خطٍ مستقيم في محيط دائرة يقال انهُ موضوع او مرسوم في الدائرة
شكلٌ ذو زوايا كثيرة متى كان لهُ خمسة اضلاع يسمى ذا خمس زوايا ويسمى ذا ست زوايا متى كانت اضلاعهُ ستة وذا سبع زوايا متى كانت اضلاعهُ سبعة وهلمَّ جرَّا
شكلٌ ذو زوايا كثيرة إذا كانت اضلاعهُ وزواياهُ متساوية يسمى قياسيا



سابقةٌ


يمكن ان يُرسَم في دائرة او محيطاً بها ايُّ شكلٍ ذي اضلاعٍ كثيرة قياسيٍ فُرِض

ليكن ا ب س ي ح شكلاً قياسيّاً ذا اضلاع كثيرة. ارسم دائرة محيطها مارٌّ بالنقط الثلاث ا ب س (ق ب مضافات ك 3) ومركزها النقطة و وليكن و ن عموداً من المركز على وسط ب س. ارسم ا و د و

فاذا وُضِع ذو الاضلاع الاربعة و ن س د على ذي الاضلاع الاربعة و ن ب ا يتطابقان. لأًنَّ الضلع و ن مشترك بين الشكلين والزاوية و ن س = و ن ب لأنها قائمتان. فالضلع ن س تقع على الضلع ن ب والنقطة س تقع على النقطة ب لأَنَّ ن س = ن ب. وبما ان الشكل قياسيٌّ فالزاوية ن س د = ن ب ا فالخط س د يقع على ب ا والنقطة د تقع على النقطة ا لأَنَّ س د = ب ا. فالشكلان يتطابقان والخط و د = و ا فالحيط الذي يمرُّ أيضاً في النقطة ا ب س يمرُّ أيضاً في النقطة د. وعلى هذا الأسلوب يبرهن ان المحيط المارَّ في ب س يمرُّ في ي أيضاً وفي كل زوايا الشكل المفروض فهو اذاً مرسومٌ في الدائرة

ثم إذا تم الشكل والدائرة كما تقدم نرى الاضلاع ا ب ب س س د إلى آخرهِ انها اوتار متساوية وهي على بعد واحد من المركز (ق 14 ك 3) فإذا جعلت النقطة و مركزاً والعمود و ن بعداً ورسمت دائرة في محيطها يمسُّ الضلع ب س في وسطهِ وهكذا في جميع اضلاع الشكل فتُرسم الدائرة في الشكل او الشكل حول الدائرة

فرعٌ اول. إذا فرض شكل قياسيٌّ فيمكن ان تُرسَم دائرة فيه واخرى محيطة بهِ ويكون لهما مركزٌ واحدٌ

فرعٌ ثانٍ. إذا أمكن ان تُرسَم دائرةٌ في شكلٍ مفروض واخرى محيطة بهِ فالشكل قياسيٌّ

تعليقة اولى. النقطة وهي مركز الدائرتين أي المحيطة بالشكل والمرسومة فيهِ فهي أيضاً مركز الشكل. وتسمى الزاوية ا و ب الزاوية في المركز وهي مصطنعة من نصفي قطرّين مرسومَين من طرفَي الضلع ا ب

بما أن كل الاوتار متساوية فكل الزوايا في المركز متساوية. فتُسعلَم كميَّة كل واحدة منها بقسمة أربع زوايا قائمة على عدد اضلاع الشكل

تعليقة ثانية. إذا أردنا أن نرسم شكلاً قياسيَّا مفروضاً عدد اضلاعهِ في دائرة مفروضة فلنقسم محيط الدائرة إلى اقسام متساوية تماثل عدد أضلاع الشكل (انظر الشكل في ق 15 ك 4)



القضية الاول.ع


علينا ان نرسم في دائرة مفروضة خطَّا مستقيماً يماثل خطَّا مستقيماً مفروضاً ليس أطول من قطر الدائرة

لتكن ا ب س الدائرة المفروضة و د الخط المستقيم المفروض ارسم ب س قطر الدائرة ا ب س ن ثم إذا مائل ب س الخط د فقد تمَّ العمل لإنهُ قد وضع في الدائرة خطٌّ مستقيم يمائل د. وإلاَّ فالخط ب س أطول من د. اقطع الجزءَ س ي حتى يمائل د (ق 3 ك 1) واجعل س مركزاً و س ي بعداً وارسم الدائرة ا ي ق وارسم الخط س ا. فبما أن س مركز الدائرة ا ي ق فالخط ا س يعدل س ي. ولكن س ي يعدل د فالخط س ا يعدل د أيضاً فقد رُسِم في الدائرة خطٌّ مستقيم يماثل الخط المستقيم المفروض د الذي ليس اطول من قطر الدائرة



القضية الثانية.ع


علينا ان نرسم في دائرة مفروضة مثلثاً زواياهُ تماثل زوايا مثلثٍ مفروض

لتكن ا ب س الدائرة المفروضة و د ي ق المثلث المفروض. علينا ان نرسم في ا ب س مثلثاً زواياهُ تعدل زوايا المثلث د ى ق

ارسم الخط المستقيم ن ا م حتى يمس الدائرة في النقطة ا (ق 17 ك 3) وفي النقطة ا من الخط المستقيم ا م اجعل الزاوية م ا س تعدل الزاوية د ي ق (ق 23 ك 1) وفي النقطة ا من الخط المستقيم ان اجعل الزاوية ن ا ب تعدل د ق ي وارسم ب س. لأَنَّ الخط ن ا م يمسُّ الدائرة ا ب س وا س بقطعها فالزاوية م ا س تعدل ا ب س في القطعة المتبادلة (ق 32 ك 3) و م ا س تعدل د ي ق فالزاوية ا ب س تعدل د ي ق ولهذا السبب ا س ب تعدل د ق ي فالزاوية الباقية من الواحد ب ا س تعدل الباقية من الاخر ي د ق (فرع 4 ق ك 1) فزوايا المثلث ا ب س تعدل زوايا المثلث د ي ق وقد رسم في والدائرة ا ب س



القضية الثالثة.ع


علينا ان نرسم مثلثاً يحيط بدائرةٍ مفروضة وزواياهُ تعدل زوايا مثلثٍ مفروض

لتكن ا ب س الدائرة المفروضة وليكن د ي ق المثلث المفروض. علينا أن نرسم مثلثاً يحيط بالدائرة ا ب س وزواياهُ تعدل زوايا المثلث د ي ق

أَخرِج ي ق إلى الجهتين إلى غ و ح واستعلم ك مركز الدائرة ا ب س (ق 1 ك 3) ومن ك ارسم خطّاً مستقيماً كيفما شئت مثل ك ب وفي النقطة ك من الخط ب ك اجعل الزاوية ب ك ا تعدل الزاوية د ي غ (ق 23 ك 1) وأيضاً الزاوية ب ك س تعدل الزاوية د ق ح. وفي النقط الثلاث ا ب س ارسم المماسات ل ا م م ب ن ن س ل (ق 17 ك 3)

لانَّ م ل م ن ن ل مماسات في النقط ا ب س التي قد رُسِم إليها من المركز ك ا ك ب ك س فالزوايا عند هذه النقط الثلاث أنما هي قائمات (ق 18 ك 3) والشكل ا ك ب م ذو اربعة اضلاع وهو قابل الانقسام إلى مثلثين فزواياهُ الأربعة تعدل أربع زوايا قائمة. و ك ا م ك ب م قائمتان فالأخريان ا ك ب ب م ا تعدلان قائمتين والزاويتان د ي غ د ي ق تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) فالزاويتان ا م ب ا ك ب تعدلان د ي غ د ي ق. ولكن ا ك ب تعدل د ي غ فالأخرى ا م ب تعدل الاخرى د ي ق وعلى هذا الاسلوب يبرهن ان الزاوية ل ن م تعدل د ق ي فالباقية من الواحد تعدل الباقية من الآخر ا ي م ل ن تعدل ي د ق (ق 32 ك 1) فالمثلث ل م ن قد رُسِم محيطاً بالدائرة ا ب س وزواياهُ تعدل زوايا المثلث د ي ق



القضية الرابعة.ع


علينا ان نرسم دائرة في مثلثٍ مفروض

ليكن ا ب س المثلث المفروض. فعلينا ان يرسم فيه دائرة نصف الزاويتين ا ب س ا س ب (ق 9 ك 1) بالخطين المستقيمين ب د س د المتقاطعين في النقطة د. ومن د ارسم الخطوط د ي د ف غ عموديَّة على الاضلاع ا ب ب س س ا

ثم لأَنَّ الزاوية ي ب د تعدل ف ب د ومن حيث ان ا ب س تنصّفت بالخط ب د ولان القائمة ب ي د تعدل القائمة ب ف د فالمثلث ي ب د لهُ زاويتان تعدلان زاويتين من المثلث ف ب د والضلع ب د الذي يقابل زاويتين متساويتين مشتركٌ بين المثلثين. فالضلعان الآخران من الواحد يعدلان الآخرين من الآخر (ق 26 ك 1) أي د ي يعدل د ف وهكذا يبرهن أيضاً ان د ع يعدل د ف والخطوط الثلاثة د غ د ف د ي متساوية وإذا رُسِمَت دائرة من المركز د وعلى بعد د ي يمرُّ المحيط في طرفَي د ف و د غ أيضاً ويمسُّ الاضلاع ا ب ب س س ا لأَنَّ الزوايا عند هذه النقط ي ف غ هي قائمات. والخط المستقيم العمودي على طرف القطر هو مماسٌّ (فرع اول ق 16 ك 3) فالخطوط الثلاثة ا ب ب س س ا تمس الدائرة فقد رُسمِت الدائرة في المثلث ا ب س



القضية الخامسة.ع


علينا ان نرسم دائرة تحيط بمثلثٍ مفروض

ليكن ا ب س المثلث المفروض. فعلينا ان نرسم دائرة تحيط بهِ.

نصف ا ب و ا س في د و ي (ق 10 ك 1) ومن هاتين النقطتين ارسم د ق ي ق عمودين على ا ب و ا س (ق 11 ك 1) فإذا أُخرج د ق ي ق يلتقيان وإلاَّ فهما متوازيان و ا ب و ا س العموديان عليهما متوازيان أيضاً وذاك محال. فلنفرض التقاءهما في ق وارسم ق ا وان لم تكن النقطة ق في الخط ب س فارسم ب ق س ق

لانّ ا د يعدل د ب و د ق مشترك بين المثلثين وعمودٌ على ا ب فالقاعدة ا ق تعدل القاعدة ب ق (ق 4 ك 1) وهكذا يبرهن ان س ق يعدل ا ق ولذلك ب ق يعدل س ق والخطوط الثلاثة ق ا ق ب ق س متساوية وإذا جُعِلتْ النقطة ق مركزاً وواحدٌ من هذه الخطوط بعداً فمحيط الدائرة تمرُّ بطرفي الآخرين ونرسم حول المثلث

فرع. متى وقع مركز الدائرة داخل المثلث كانت كل واحدة من زواياهُ أصغر من قائمة لانّ كل واحدة منها في نقطة أكبر من نصف دائرة. ومتى كان المركز في أحد الأضلاع فالزاوية المقابلة له قائمة لأنها في نصف دائرة. ومتى وقع المركز خارج المثلث فالزاوية المقابلة له للضلع الذي كان المركز خارجهُ أكبر من قائمة لإنها في قطعة أصغر من نصف دائرة. فإذا كان المثلث المفروض حادَّ الزوايا بقع المركز داخلهُ وإذا كان ذا قائمة يقع المركز في الضلع الذي يقابل القائمة وإذا كان منفرج الزاوية يقع المركز خارج الضلع الذي يقابل المنفرجة.

تعليقة يتضح من هذه القضية ان الخطوط الثلاثة العمودية على اواسط اضلاع مثلث نلتقي في نقطة في واحدة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث
بموجب هذه القضية تُرسم قطعةٌ من فن قطرة وترها وعلوها مفروضان ليكن ا ب وترها والعمود على وسطو علوها. ارسم ا د ب د ونصِفهما في م و ن ومن م و ن ارسم عمودين ل م ل ن التقيين في ل مركز الدائرة. فالخطوط ل ب ل د ل ا متساوية والحلول بين حجارة القنطرة هي كإنها منقطعة من انصاف اقطار الدائرة



القضية السادسة.ع


علينا ان نرسم مربَّعاً في دائرة مفروضة

لتكن ا ب س د الدائرة المفروضة. فعلينا ان نرسم فيها مربعاً ارسم القطرين ا س ب د واجعل كل واحد منهما عموداً على الآخر. وارسم ا ب س س د د ا

النقطة ي مركز الدائرة ولذاك ب ي يعدل ي د وقد جعل ا ي عموداً على ب د والمثلثان ا ب ي ا د ي لهما الضلع المشترك ا ي فالقاعدة ا ب تعدل القاعدة ا د (ق 4 ك 1) وهكذا يبرهن ان ب س و س د يعدلان ا ب أو ا د فالشكل ا ب س د متساوي الأضلاع. وهو أيضاً قائم الزوايا. لانّ ب د قطر و ب ا د نصف دائرة فالزاوية ب ا د قائمة (ق 31 ك 3) وهكذا يبرهن أيضاً ان ا ب س ب س د س د ا قائمات فالشكل ا ب س د قائم الزوايا وقد تبرهن انهُ متساوي الأضلاع فهو مربعٌ وقد رُسِم في الدائرة ا ب س د

تعليقة. المثلث ا ي د قائم الزاوية ومتساوي الساقين فلنا (فرع 2 ق 47 ك 1) ا د: ا س: 2 :1 أي ضلع مربع في دائرة إلى نصف القطر كجذر اثنين الماليّ إلى واحد



القضية السابعة.ع


علينا ان نرسم مربعاً محيطاً بدائرة مفروضة

لتمكن ا ب س د الدائرة المفروضة. فعلينا ان نرسم مربَّعاً محيطاً بها ارسم القطرين ا س ب د واجعل كل واحد منها عموداً على الآخر. وفي النقط ا ب س د ارسم المماسات ر ف ر ح ح ك ك ف ( ق 17 ك 3)

لانَّ رف يمسُّ الدائرة وقد رُسِم غ ا من المركز إلى نقطة المماسة فالزاويتان عند ا قائمتان (ق 18 ك 3) وهكذا يبرهن أن الزوايا عند ب و س و د قائمات. فبما أن ا غ ب قائمة و غ ب ر كذلك فالخط ر ح يوازي ا س وهكذا يبرهن ان ا س يوازي ف ك وان ر ف و ح ك يوازيان ب د فالأشكال ر ك ر س ا ك ف ب ب ك هي متوازية الاضلاع و ر ف يعدل ح ك (ق 34 ك 1) ورح يعدل ف ك. ومن حيث ان ا س يعدل ب د ويعدل ر ح و ف ك أيضاً و ب د يعدل ف ك و ح ك فالخطان ر ح ف ك يعدلان ر ف أو ح ك فالشكل ف ر ح ك متساوي الاضلاع. وهو أيضاً قائم الزوايا. لأنَّ ر ب غ ا متوازي الاضلاع و ا غ ب قائمة تكون ا ر ب أيضاً قائمة (ق 34 ك 1) وهكذا يبرهن أن كل واحدة من الزوايا عند ح و ك و ف قائمة فالشكل ف ر ح ك قائم الزوايا وقد تبرهن أنهُ متساوي الأضلاع فهو مربع وقد رُسِم محيطاً بالدائرة ا ب س د



القضية الثامنة.ع


علينا ان نرسم دائرة في مربَّعٍ مفروض

ليكن ا ب س د المربع الفروض. فعلينا ان نرسم فيهِ ودائرة نصّف الضلع ا ب في ف والضلع ا د في ر (ق 10 ك 1) ومن ر ارسم ر ح يوازي ا ب او د س ومن ف ارسم ف ك حتى يوازي ا د أو ب س. فكل واحد من الأشكال ا ك ك ب ا ح ح د ا ي ب ي ي د متوازي الأضلاع واضلاعها المتقابلة متساوية (ق 34 ك 1) فمن حيث ان ا د يعدل ا ب و ا ر نصف ا د وا ف نصف ا ب فبالضرورة ا ر يعدل ا ف فالضلعان المقابلان لهذين متساويان اأيضاً أي ف ي يعدل ي ر وهكذا يبرهن ان ي ح و ي ك يعدلان ف ي أو ي ر فالخطوط الأربعة ي ر ي ف ي ح ي ك متساوية والدائرة المرسومة على المركز ي وعلى بعد احد هذه الخطوط تمرُّ باطراف الأُخَر. وهي نمسُّ الأضلاع الأربعة أيضاً لأنَّ الزوايا عند ر ف ح ك قائمات (ق 29 ك 1) والخط العمودي على طرف القطر إنما هو مماس (ق 16 ك 3) فكل واحد من الخطوط الأربعة ا ب ب س س د دا مماس الدائرة فقد رُسِمَت الدائرة في المربع المفروض



القضية التاسعة.ع


علينا ان نرسم دائرة تحيط بربًَعٍ مفروض

ليكن ا ب س دالمربع المفروض فعلينا ان نرسم دائرة تحيط بهِ. ارسم ا س ب د المتقاطعين في ي. فلانَّ د ا يعدل ا ب والخط ا س مشترك بين المثلثين د ا س ب س ا فالضلعان د ا ا س يعدلان ب ا ا س والقاعدة د س تعدل القاعدة ب س فالزاوية د ا س تعدل ب ا س (ق 8 ك 1) فقد تنصَّفت الزاوية د ا ب بالخط ا س وهكذا يبرهن ان الزوايا ا ب س ب س د س د ا قد تنصَّفت بالخطين المستقيمين ا س ب د. فلكون الزاوية د ا ب تعدل ا ب س و ى ا ب نصف د ا ب و ي ب ا نصف ا ب س فالزاوية ي ا ب تعدل ي ب ا والضلع ا ي يعدل الضلع ب ي (ق 6 ك 1) وهكذا يبرهن أن ي س ي د يعدلان ا ي أو ب ي فالخطوط الأربعة ي ا ي ب ي س ي د متساوية والدائرة المرسومة على المركزي د وعلى بعد احد هذه الخطوط تمرُّ باطراف لأخر وتحيط بالمربع ا ب س د



القضية العاشرة.ع


علينا أن نرسم مثلثاً متساوي الساقين وكل واحدة من الزاويتين عند القاعدة مضاعف الزاوية الثالثة

افرض خطَّا مستقيماً مثل ا ب واقسمهُ (ق 11 ك 2) في س إلى قسمين حتى ان القائم الزوايا ا ب × ب س يعدل مربع ا س واجعل ا مركزاً و ا ب بعداً وارسم الدائرة ب د ي. واجعل فيها (ق 1 ك 4) الخط المستقيم ب د حتى يعدل ا س الذي ليس اطول من قطر الدائرة ب د ي. ارسم د ا د س. وارسم الدائرة ا س د تحيط بالمثلث ا د س (ق 5 ك 4) فالمثلث ا ب د هو المطلوب أي كل واحدة من الزاويتين ا ب د ا د ب مضاعف الزاوية ب ا د

لأنَّ القائم الزوايا ا ب × ب س يعدل مربَّع ا س و ا س يعدل ب د فالقائم الزوايا ا ب × ب س يعدل مربَّع ب د. ولانهُ قد رُسِم الخطُّ المستقيم ب س ا والخط المستقيم ب د من النقطة ب خارج الدائرة ا س د الواحد قاطع الدائرة والآخر يلاقيها والقائم الزوايا ا ب × ب س مسطحُ كل القاطع في الجزء منهُ الواقع خارج الدائرة يعدل مربع ب د الذي يلاقي الدائرة ا س د فالخط ب د مماسٌّ للدائرة ا س د (ق 37 ك 3) ولأنَّ ب د مماس و د س قاطع من نقطة المماسَّة فالزاوية ب د س (ق 32 ك 3) تعدل الزاوية د ا س في القطعة المتبادلة من الدائرة. أضف الى كل واحدة منها الزاوية س د ا فكل الزاوية ب د ا تعدل الزاويتين س د ا د ا س. ولكن الزاوية الخارجة ب س د (ق 32 ك 1) تعدل الزاويتين س د ا د ا س. فالزاوية ب د ا تعدل ب س د. ولكن ب د ا تعدل س ب د لان الساق ا د يعدل الساق ا ب (ق 5 ك 1) فالزاوية س ب د ا و د ب ا تعدل ب س د فالزوايا الثلاث ب ر ا د ب ا ب س د متساوية. ولانَّ الزاوية د ب س تعدل ب س د فالضلع ب د يعدل الضلع س د (ق 6 ك 1) و ب د يعدل ا س ولذلك س د يعدل ا س أيضاً والزاوية س د ا تعدل س ا د (ق 5 ك 1) و س د ا س ا د معاً مضاعف س ا د. ولكن ب س د تعدل س د ا س ا د (ق 32 ك 1) فالزاوية ب س د مضاعف س ا د. و ب س د تعدل كل واحدةٌ من الزاويتين ب د ا د ب ا فكل واحدة من هاتين مضاعف الزوية ب ا د فقد رُسِم مثلثٌ متساوي الساقين وكل واحدة من الزاويتين عند القاعدة مضاعف الزاوية الثالثة

فرعٌ اول. الزاوية ب ا د هي خُمس قائمتين. لانَّ كل واحدة من ا ب د ا د ب مضاعف ب ا د فهما معاً تعدلان أربعة امثال ب ا د والثلاث زوايا معاً تعدل خمسة امثال ب ا د والثلاث معاً تعدل قائمتين أي خمسة امثال ب ا د تعدل قائمتين أو ب ا د تعدل خُمس فائمتين

فرعٌ ثانٍ. لان ب ا د خُمس قائمتين أو عُشر اربع قائمات فكل الزوايا في المركز ا تعدل معاً عشرة امثال ب ا د وتقبل الانقسام إلى عشرة أقسام كل واحد يعدل ب ا د وهذه الزوايا العشر في المركز تقابلها عشرة اقواس متساوية فالقوس ب د هو عُشر المحيط والخط المستقيم ب د أو ا س يعدل ضلعاً من ذي عشرة أضلاع مرسوم فى الدائرة ب د ي



القضية الحادية عشرة.ع


علينا ان نرسم شكلاً قياسياً ذا خمسة اضلاع في دائرة مفروضة

لتكن ا ب ي د ي الدائرة المفروضة. فعلينا ان نرسم فيها شكلاً قياسياً ذا خمسة أضلاع. ارسم مثلثاً متساوي الساقين ق ر ح لهُ كل واحدة من الزاويتين عند القاعدة ا ي عند ر و ح مضاعف الزاوية عند ق (ق 10 ك 4) وفي الدائرة ا ب س د ي ارسم المثلث المتساوي الساقين ا س د زواياهُ تماثل ق ر ح (ق 2 ك 4) أي الزاوية س ا د تماثل الزاوية عند ق والزاوية ا س د تماثل الزاوية عند ر و ا د س تماثل الزاوية عند ح. فكل واحدة من الزاويتين ا س د ا د س هي مضاعف س ا د نصفهما بالخطَّين المستقين س ي د ب (ق 9 ك 1) وارسم ا ب ب س ا ي ي د فالشكل ا ب س د ي هو الشكل المطلوب ذو خمسة أضلاع قياسيٌّ

بما أن كل واحدة من الزاويتين ا س د ا د س مضاعف س ا د وقد تنصَّفتا بالخطين المستقيمين د ب س ي فالزوايا الخمس د ا س ا س ي ي س د س د ب ب د ا متساوية. والزوايا المتساوية تقابلها أقواسٌ متساوية (ق 26 ك 3) فالأقواس الخمسة ا ب ب س س د د ي ي ا متساوية. والأقواس المتساوية تقابلها خطوط متساوية (ق 39 ك 3) فالخطوط ا ب ب س د د ي ي ا متساوية والشكل ا ب س د ي ذو خمسة أضلاع متساوية. وهو أيضاً متساوي الزوايا لأنَّ القوس ا ب يعدل القوس د ي. فإذا أٌضيف إليها ب س د فالكل ا ب س د يعدل الكل ي د س ب. والزاوية ا ي د واقفة على القوس ا ب س د والزاوية ب ا ي على القوس ي د س ب. فالزاوية ب ا ي تعدل الزاوية ا ي د (ق 27 ك 3) وهكذا يبرهن أن الزوايا ا ب س ب س د س د ي تعدل ب ا ي أو ا ي د فالشكل ا ب س د ي متساوي الزوايا وقد تبرهن أنهُ متساوي الأضلاع فهو ذو خمسة أضلاع قياسي وقد رُسِم في الدائرة المفروضة

طريقة أخرى. أقسم نصف قطر الدائرة المفروضة حتى أن القائم الزوايا مسطح كل الخطّ في أحد القسمين يعدل مربع القسم الاخر (ق 11 ك 2) وارسم خطَّا يعدل أكبر القسمين على جانبي نقطة مفروضة فكل واحد منهما يقطع قوساً عشر المحيط (فرع 2 ق 10 ك 4) فالقوسان معاً. خمس المحيط ووتره ضلع شكل ذي خمسة أضلاع قياسي في الدائرة



القضية الثانية عشرة.ع


علينا ان رسم شكلاً قياسياً ذا خمسة اضلاع محيطاً بدائرة مفروضة

لتكن ا ب س د الدائرةالمفروضة. عليناان نرسم شكلاً قياسياً ذا خمسة أضلاع يحيط بها

لتكن زوايا شكل قياسي ذي خمسة أضلاع في الدائرة في النقط ا ب س د ي فالأقواس ا ب ب س س د د ي متساوية (ق 11 ك 4) وفي النقط ا ب س د ي أرسم الخطوط ر ح ح ك ك ل ل م م ر حتى تمسَّ الدائرة (ق 17 ك 3) استعلم المركز ق وارسم ق ب ق ك ق س ق ل ق د

فبما أن الخط المستقيم ك ل يمسُّ الدائرة ا ب س د ي في النقطة س التي رُسِم إليها ق س من المركز فالخط ق س عمود على ك ل (ق 18 ك 3) والزاويتان عند س قائمتان. وهكذا يبرهن أيضاً أن الزوايا عند ب و د قائمات. ولكون ق س ك قائمة فمربَّع ق ك يعدل مجتمع مربَّعي ق س س ك (ق 47 ك 1) ولكون ق ب ك قائمة فمربع ق ك يعدل مربعي ق ب ب ك فمربعا ق س س ك يعدلان مربعي ق ب ب ك. ومربع ق س يعدل مربع ق ب فالباقي مربع س ك يعدل الباقي مربع ب ك والخط س ك يعدل الخط ب ك. بما أن ق س يعدل ق ب و ق ك مشترك بين المثلثين ق س ك ق ب ك فالضلعان ب ق ق ك يعدلان الضلعين س ق ق ك والقاعدة س ك تعدل القاعدة ب ك. فالزاوية ب ق ك تعدل الزاوية س ق ك (ق 8 ك 1) و ب ق تعدل س ك ق. فكل الزاوية ب ق س هي مضاعف ك ق س و ب ك س مضاعف ق ك س. وهكذا يبرهن أن الزواية س ق د مضاعف س ق ل و س ل د مضاعف س ل ق. ولكون القوس ب س يعدل القوس س د فالزواية ب ق س تعدل س ق د (ق 27 ك 3) و ب ق س مضاعف ك ق س و س ق د مضاعف س ق ل فالزواية ك ق س تعدل س ق ل. والقائمة ق س ك تعدل القائمة ق س ل فالمثلثان ق ك س ق ل س لهما زاويتان من الواحد تعدلان زاويتين من الآخر والضلع س ل والزاوية ق ك س تعدل ق ل س. ولكون ك س يعدل س ل فالخط ك ل مضاعف ك س. وهكذا يبرهن أن ح ك مضاعف ب ك. ولكن ب ك يعدل ك س كما قد تبرهن سابقاً فالخط ك ل يعدل ح ك (أولية 6) وهكذا يبرهن أن ر ح ر م م ل تعدل ح ك أو ك ل. فالشكل ر ح ك ل م ذو خمسة أضلاع متساوية وزواياهُ متساوية أيضاً لأنَّ الزاوية ق ك س تعدل ق ل س و ح ك س مضاعف ق ك س و ك ل م مضاعف ق ل س كما تقدم برهانهُ فالزاوية ح ك ل تعدل ك ل م. وهكذا يبرهن أن ل م ر م ر ح ك تعدل ح ك ل أو ك ل م. فالزوايا الخمس متساوية وقد تبرهن أن الشكل متساوي الأضلاع فهو ذو خمسة أضلاع قياسي محيط بالدائرة المفروضة

======

الكتاب الحامس
​كتاب في الأصول الهندسية​ المؤلف كرنيليوس فانديك

الكتاب الخامس


الكتاب السادس غير متوففر