اللمع اليسيرة في علم الحساب ابن الهائم

اللمع اليسيرة في علم الحساب  ابن الهائم

الحمد لله رب العالمين والصلاة والسلام على سيدنا محمد خاتم النبيين وعلى آله وصحبه أجمعين.

وبعد فهذه لمع يسيرة في علم الحساب يضطر إلى معرفتها من يريد الشروع في الفرائض نافعة إن شاء الله تعالى.

أعلم أن الأعداد الأصلية ثلاثة أنواع: آحاد وعشرات ومئات، فالآحاد من واحد إلى تسعة بزيادة واحد واحد، والعشرات من عشرة إلى تسعين بزياة عشرة عشرة، والمئات من مائة إلى تسعمائة بزيادة مائة مائة.

وأمَّا الفرعية ما فيه لفظة الألوف، كآحاد الألوف وعشراتها ومئاتها، وآحاد الألوف الألوف واعشراتها ومئاتها، وهي كالأصلية في أن كل نوع منها تسعة أقسام متفاضلة بأولها، وقولهم ألوف أصله آحاد الألوف فحذف منه لفظة الآحاد تخفيفاً.

باب في ضرب الصحيح وهو تضعيف أحد العددين بقدر ما في الآخر من الآحاد.

فإذا قيل أضرب ثلاثة في أربعة فالمعني حصّل من أمثال الثلاثة بقدر آحاد الأربعة، أو من أمثال الأربعة بقدر آحاد الثلاثة، فالجواب على التقديرين اثني عشر.

ثم العدد ينقسم إلى مفرد ومركب، فما كان من نوع واحد فمفرد، وما كان من أكثر فمركب كأحد عشر وأربعمائة واثنين وثلاثين.

ثم الضرب ثلاثة أقسام: ضرب مفرد في مفرد، وضرب مفرد في مركب، وضرب مركب في مركب، إمّا ضرب المفرد في المفرد وهو الأصل، فأقسام كل نوع منها منحصرة في خمس وأربعين صورة، وضرب الأعداد الأصلية بعضها في بعض منحصرة في ستة أبواب: ضرب الآحاد في الآحاد وفي العشرات وفي المئات، وضرب العشرات في العشرات وفي المئات، وضرب المئات في المئات، والحاصل من ضرب الآحاد في الآحاد آحاد وفي العشرات عشرات وفي المئات مئات، ومن ضرب العشرات في العشرات مئات وفي المئات ألوف، ومن المئات في المئات عشرات ألوف، وأصلها ضرب الآحاد في الآحاد، فالحاصل من ضرب الواحد في الواحد واحد، وفي الاثنين اثنان، وفي الثلاثة ثلاثة، وفي الأربعة أربعة، وفي الخمسة خمسة، وفي الستة ستة، وفي السبعة سبعة، وفي الثمانية ثمانية، وفي التسعة تسعة، ومن ضرب الاثنين في الاثنين أربعة، وفي الثلاثة ستة، وفي الأربعة ثمانية، وفي الخمسة عشرة، وفي الستة اثنا عشر، وفي السبعة أربعة عشر، وفي الثمانية ستة عشر، وفي التسعة ثمانية عشر، والثلاثة في الثلاثة تسعة، وفي الأربعة اثني عشر، وفي الخمسة خمسة عشر، وفي الستة ثمانية عشر، وفي السبعة واحد وعشرون، وفي الثمانية أربعة وعشرون، وفي التسعة سبعة وعشرون، ومن ضرب الأربعة في الأربعة ستة عشر، وفي الخمسة عشرون وفي الستة أربعة وعشرون، وفي السبعة ثمانية وعشرون، وفي الثمانية اثنان وثلاثون، وفي التسعة ستة وثلاثون، ومن ضرب الخمسة في الخمسة خمسة وعشرون، وفي الستة ثلاثون، وفي السبعة خمسة وثلاثون، وفي الثمانية أربعون، وفي التسعة خمسة وأربعون، ومن ضرب الستة في الستة ستة وثلاثون، وفي السبعة اثنان وأربعون، وفي الثمانية ثمانية وأربعون، وفي التسعة أربعة وخمسون، ومن ضرب السبعة في السبعة تسعة وأربعون، وفي الثمانية ستة وخمسون، وفي التسعة ثلاثة وستون، ومن ضرب الثمانية في الثمانية أربعة وستون، وفي التسعة اثنان وسبعون، ومن ضرب التسعة في التسعة احد وثمانون، وسرعة استحضارها مسهلة للضرب.

فصل إذا ضربت آحاد في نوع من غيرها، فيرد ذلك الغير إلى عدة عقوده، فيرجع إلى الآحاد، واضرب الآحاد في الآحاد، وخذ لكل واحد من الخارج أقل عقود ذلك النوع فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل اضرب اثنين في ثلاثين فرد الثلاثين إلى عدة عقودها ثلاثة، واضرب الاثنين في الثلاثة يحصل ستة، فخذ لكل واحد منها عشرة لإنها أقل عقود العشرات فيكون الجواب ستين.

ولو قيل اضرب أربعة في خمسمائة فرد والخمسمائة إلى خمسة، واضرب الأربعة في الخمسة يبلغ عشرين خذ لكل واحد من العشرين مائة فالجواب ألفان.

ولو قيل اضرب خمسين في ستين فرد الخمسين إلى خمسة والستين إلى ستة واضرب الخمسة في الستة تبلغ الثلاثون وخذ لكل واحد من الثلاثين مائة فالجواب ثلاثة الآف.

ولو قيل اضرب ستين في تسعمائة فرد الستين إلى ستة والتسعمائة إلى تسعة واضرب الستة في التسعة تبلغ أربعة وخمسين فخذ لكل واحد من الخارج ألفاً فالجواب أربعة وخمسون ألفاً.

ولو قيل ثمانمائة في تسعمائة فاضرب ثمانية في تسعة تبلغ اثنان وسبعون، وخذ لكل واحد منها عشر الآف، فالجواب سبعمائة ألف وعشرون ألفاً وقس على ما مثلت به من كل نوع من الأربعة والأربعين صورة الباقية.

فصل إذا كانت الألوف في أحد المضروبين فقط فاضرب العدد مجرداً عنها كما عرفت واضف الحاصل إلى لفظة الألوف بحسب ما كانت فيه فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل ضرب ثلاثة في أربعة الآلف فإذا جردت أربعة الآف من الألوف صارت أربعة وترجع الصورة إلى ضرب الآحاد في الآحاد يكن الحاصل من ضرب الثلاثة في الأربعة اثني عشر فاضفها إلى لفظة الألوف مرة فيكون الجواب اثنى عشر ألفاً ولو كان الذي ضربته فيه الثلاثة أربعه الأف ألف فاضف الاثني عشر إلى ألوف الألوف فيكون الجواب اثني عشر ألف ألف.

ولو قيل اضرب أربعين في خمسين ألف ألف فإذا جردت الفرعي رجعت الصورة إلى ضرب أربعين وخمسين فيحصل ألفان فاضف ذلك الآلوف فيكون الجواب ألفي ألف ألف ثلاثاً وعلى هذا القياس، ولو كانت الألوف في كلا المضروبين متفقة أو مختلفة فجردهما عنها واضرب إحدهما في الآخر واضف الحاصل من ضربهما مجردين إلى لفظات الألوف المحفوظة من الجانبين فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل اضرب أربعين ألفا في ستين ألف ألف فإذا جردتهما عز لفظات الألوف رجعتا إلى ضرب أربعين في ستين فاضف الحاصل وهو ألفان وأربعمائة إلى لفظات الألوف الثلاثة فيكون الجواب ألفي ألف ألف ألف وأربعمائة ألف ألف ألف ثلاثاً.

فلو قيل اضرب ستين ألف ألف في سبعمائة ألف ألف ألف فإذا جردتهما رجعا إلى ضرب ستين في سبعمائة فاضربهما كما عرفت، واضف الحاصل وهو اثنان وأربعون ألف إلى لفظات الألوف، فيكون الجواب اثنين وأربعون ألف ألف ألف ألف ألف ألف ستاً، وعلى هذا القياس.

فصل إذا ضربت مفرداً في مركب فحل المركب إلى مفرداته واضرب المنفرد في كل نوع منها نوعاً بعد نوع، كما عرفت واجمع الخارجات فما كان فهو المطلوب، ويتم العمل بضربات بعدة مفردات المركب فضرب المركب من نوعين يتم بضربتين والمركب من ثلاثة يتم بثلاث وهكذا.

فلو قيل اضرب سبعة في ثلاثة وخمسين فالثلاثة والخمسون مركبة من نوعين يتم عملها بضربتين فاضرب السبعة في كل منهما واجمع الحاصلين فالجواب ثلاثمائة واحد وسبعون.

ولو قيل اضربها في سبعمائة وأربعة وستين فيتم عملها بثلاث ضربات فاضرب السبعة في كل نوع منها واجمع الحواصل الثلاثة فيكون الجواب خمسة الآف وثلاثمائة وثمانية وأربعين ولو ضربت مركباً في مركب فحل كل منها إلى مفرداته واضرب كل واحد من مفردات أحدهما في كل واحد من مفردات الآخر كما تضرب المفرد في المركب واجمع الحواصل يكن المطلوب، ويتم العمل بضربات بقدر ما يحصل من ضرب عدة مفردات أحدهما في عدة مفردات الآخر فيتم ضرب المركب من نوعين باربع ضربات وفي المركب من ثلاثة بست ضربات وفي المركب من أربعة بثمان ضربات وهكذا.

ولو قيل اضرب ثلاثة عشر في أربعة وعشرين، فكل منهما مركب من نوعين، فاضرب العشرة في العشرين ثم في الأربعة، والثلاثة في العشرين ثم الأربعة، واجمع الحواصل الأربعة يكن الجواب ثلاثمائة واثني عشر.

ولو قيل اضرب أربعة وعشرون في مائة وخمسة وثلاثين فتحتاج إلى ست ضربات، فاضرب العشرين في المائة ثم في الثلاثين ثم في الخمسة، والأربعة في المائة ثم الثلاثين ثم الخمسة، واجمع الحواصل الست يكن الجواب ثلاثة الآف وماتين وأربعين فقس على ذلك.

فصل للضرب وجوه كثيرة وملح اختصارية منها أن كل عدد يضرب في خمسة أو في خمسين أو خمسمائة فيؤخذ نصفه ويبسط في الأول عشرات وفي الثاني مئات وفي الثالث ألوفاً، فإن كان في النصف كسر فخذ له غير المنصف فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل اضرب ثمانية عشر في خمسة فخذ نصف الثمانية عشر وابسط التسعة عشرات فالجواب تسعون.

فلو قيل اضربها في خمسين فابسط التسعة مئات فالجواب تسعمائة.

ولو قيل اضربها في خمسمائة فابسط التسعة ألوفاً فالجواب تسعة الآف ولو كان بدل الثمانية عشر في المسائل الثلاث تسعة عشر فرد في جواب الأولي خمسة وفي جواب الثانية خمسين في جواب الثالثة خمسمائة، ومنها أن كل عددٍ يضرب في خمسة عشر، أو في مائة وخمسين، أو في ألف وخمسمائة، فيزاد عليه نصفه ويبسط المجتمع في الأول عشرات، وفي الثاني مئات وفي الثالث ألوفاً ويؤخذ للنصف ثلث غير المنصف.

ولو قيل اضرب أربعة وعشرين في خمسة عشر فرد على الأربعة والعشرين مثل نصفها وابسط المجتمع وهو ستة وثلاثون عشرات فالجواب ثلاثمائة وستون.

ولو قيل اضربها في مائة وخمسين فابسط الستة والثلاثون مئات فالجواب ثلاثة الآف وستمائة. فلو قيل اضربها في ألف وخمسمائة فابسطها ألوفا فالجواب ستة وثلاثون ألفاً ولو كان بدل الأربعة والعشرين في الثلاثة خمسة وعشرين فزد عليها مثل نصفها فيكان المجتمع بستة وثلاثون ونصف وكان الجواب في الأولى ثلاثمائة وخمسة وسبعين وفي الثانية ثلاثة ألاف وسبعمائة وخمسين في الثالثة سبعة وثلاثون ألفا وخمسمائة ومنها إنك إذا ضربت آحاد أو عشرات في آحاد وعشرات فزد على أحد المضروبين آحاد الآخر وببسط المجتمع عشرات وزد على الحاصل مضروب الآحاد في الآحاد.

فلو قيل اضرب اثني عشر في ثلاثة عشر فاحمل الاثنين على الثلاثة عشر أو الثلاثة على الاثني عشر وابسط المجتمع وهو خمسة عشر عشرات وزد على الحاصل وهو مائة وخمسون مضروب الاثنين في الثلاثة فيكون الجواب مائة وستة وخمسين

ولو تعددت العشرات من الجانبين واستوت عدتها فزد آحاد أحدهما على الآخر واضرب المجتمع في عدة العشرات واحمل على الحاصل مضروب الآحاد في الآحاد.

ولو قيل اضرب ثلاثة وعشرين في خمسة وعشرين فاحمل الثلاثة على الخمسة والعشرين، أو الخمسة على الثلاثة والعشرين، واضرب المجتمع وهو ثمانية وعشرون في اثنين وابسط الحاصل وهو ستة وخمسون عشرات يكن خمسمائة وستين فزد عليها مضروب الثلاثة في الخمسة يكن الحاصل خمسمائة وخمسة وسبعين.

ولو تعددت العشرات من أحدهما دون الآخر فاضرب أحد أصغرهما في تكرار العشرة وزد الحاصل على الأكبر وابسط المجتمع عشرات وزد على الحاصل مضروب الآحاد في الآحاد يحصل المطلوب.

فلو قيل اضرب ثلاثة عشر في خمسة وعشرين فاضرب الثلاثة في الاثنين وزد الحاصل على الخمسة والعشرين يحصل أحد وثلاثون فابسطها عشرات وزد على الحاصل مضروب الثلاثة في الخمسة يكن الجواب ثلاثمائة وخمسة وعشرين.

ومنها أنك تضعف أحدهما مرة فأكثر وتنصف الآخر بعدة التضعيف وتضرب ما صار إليه أحدهما فيما صار في الآخر.

فلو قيل اضرب مائة وخمسة وعشرين في مائة وعشرين فإذا ضعفت الأول مرةً ونصفت الثاني كذلك رجعا إلى مائتين وخمسين وإلى ستين فافاد ذلك اختصار أربع ضربات لو ضعفت الأكبر مرتين ونصفت الأصغر كذلك صار ثلاثين وخمسمائة واختصر خمس ضربات وكان الجواب خمسة عشر ألفاً ومنها أن تنسب أحدهما إلى عقد مفرد فوقه وتأخذ بتلك النسبة من الآخر وتبسط المأخوذ من جنس الذي نسبت إليه وكسره بحسبه فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل اضرب خمسة وعشرين في ثمانية وأربعين، فانسب الخمسة والعشرين إلى مائة تكن ربعاً، فخذ ربع الثمانية والأربعين وهو اثنا عشر وابسطه مئات تكن ألفاً ومائتين وهو الجواب.

ولو كان بدل الثمانية والأربعين خمسين فربعها اثنا عشر ونصف، فيكون الجواب ألفا ومائتين وخمسين، ومتى احتجت إلى تسهيل العمل إلى زيادة شيء في أحد المضروبين أو إلى نقصانه فاعمل ما تحتاج إليه واحفظ الحاصل ثم اضرب المزيد أو المنقوص في الطرف الخالي من ذلك وزد الحاصل على المحفوظ إن نقصت وانقصه منه أن زدت فما اجتمع أو بقي فهو المطلوب ففي الوجه الأخير.

لو كان بدل الخمسة والعشرين أربعة وعشرين، فزد فيها واحداً لتسهيل النسبة واضرب الواحد المزيد في الخمسين، واطرح الحاصل من المحفوظ يكن جوابها كالتي قبلها.

ولو كان بدلها ستة وعشرون طرحت الواحد ثم ضربت المنقوص في الخمسين، وزدت الحاصل على المحفوظ يكن الجواب ألفاً وثلاثمائة، والاختبار بقسمة حاصل الضروب على أحد المضروبين فإن خرج المضروب الآخر صح وإلا فلا.

باب القسمة وهي ضربان قسمة كثير على قليل وعكسه، ويقال نسبة وتسمية، والعمل في الأول أن تحصل بالاستقراء عدداً إذا ضربته في المقسوم عليه ساوى حاصله بالضرب المقسوم أو نقص عنه، فإن ساواه فالمفروض هو الخارج بالقسمة المطلوب، وإن نقص عنه بأقل من المقسوم عليه فهو كسر منه فسمه منه، وزد الحاصل على المفروض فما كان فهو المطلوب، وإلا فرض آخر وضرب في المقسوم عليه وقوبل حاصله بالباقي، وهكذا إلى أن لا يبقى من المقسوم شيء، أو يبقى منه أقل من المقسوم عليه فيسمى منه ويضم المضروبات بعضها إلى بعض مع الكسر إن كان فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل اقسم مائة وعشرين على أربعة وعشرين فلو فرضت خمسة وضربتها في الأربعة والعشرين ساوى الحاصل المقسوم فالخمسة هي الخارج المطلوب.

ولو كان المقسوم فيها مائة وثلاثين وفرضت الخمسة لكان الباقي عشرة وهي أقل من الأربعة والعشرين فسمها منها تكن ربعاً وسدساً، فالجواب خمسة وربع وسدس ولو كان المفروض ثلاثة حصل بالضرب اثنان وسبعون وبقي ثمانية وخمسون، وهو أكثر من الأربعة والعشرين، فافرض اثنين فاضربهما فيها يحصل ثمانية وأربعون فلا يفني الباقي ويبقي منه عشرة وهي أقل من المقسوم عليه قسمها منه واجمع الحاصل إلى المفروضين يكن الجواب كما ذكرنا فقس على ذلك ولك أن تقسم المقسوم مفصلا بحسب ما يسهل وتجمع الخارجات كما لو أدرت قسمة ألفين وستمائة وسبعين على الأربعة والعشرين فتقسم ألفين وأربعمائة يخرج مائة ويبقي مائتان وسبعون فتقسم منها مائتين وأربعين فيخرج عشرة ويبقي ثلاثون اقسم منها أربعة وعشرين يخرج واحد ويبقي ستة وهو ربع فتجمع الخارجات يكن الجواب مائة واحد عشر وربعاً. وإن شئت فسم واحداً ابدا من المقسوم عليه وخذ من المقسوم بتلك النسبة فالواحد من الأربعة والعشرين، ثلث ثمن فخذ ثلث ثمن المائة والعشرين، أو ثلث ثمن المائة والثلاثين، أو ثلث ثمن المقسوم الأخير فيكون الجواب، ومتي كان بين المقسوم والمقسوم عليه موافقة بجزء ما، فالأخصر أن تقسم وفق المقسوم على وفق القسوم عليه.

فلو قيل كم قيراط الألف فاقسم الألف على أربعة والعشرين كما سبق، وإن شئت فاردد كل منهما إلى ثمنه، واقسم مائة وخمسة وعشرين على ثلاثة ومتى سهلت القسمة بزيادة شيء في المقسوم فزده، ثم سم المزيد من المقسوم عليه واطرح الحاصل من الخارج فما بقي فهو المطلوب.

ولو قيل اقسم ثلاثمائة وسبعة وخمسين على ستة وثلاثين فتسهل القسمة بزيادة ثلاثة في المقسوم فيصير ثلاثمائة وستين والخارج بالقسمة على الستة وثلاثين عشرة ثم سم الثلاثة من الستة والثلاثين تكن نصف سدس، فاطرحه من العشرة فالجواب تسعة وثلثان وربع والاختبار في القسمة أن تضرب الخارج في المقسوم عليه فإن ساوي حاصله المقسوم عليه صح العمل وإلا فلا.

فصل وأما قسمة القليل على الكثير، فإن كان الكثير أولا وهو الذي لا يفنيه إلا الواحد، وكان غير الاثنين والثلاثة والخمسة والسبعة نسبت إليه القليل بلفظ الجزئية بتوسط من فيقال في الواحد من أحد عشر جزءاً ومن أحد عشر جزءاً من الواحد، وفي الاثنين اثنان جزأن منها وهكذا. وأمَّا الأربعة المستثنيات فالقسمية منها سهلة فيقال في الواحد من الاثنين نصف، ومن الثلاثة ثلث، ومن الخمسة خُمس، ومن السبعة سبع، وتكرار الواحد بحسبة فيقال في الاثنين من الخمسة خمسان، وفي الثلاثة منها ثلاثة أخماس، وإن كان مركباً وهو الذي ينفيه غير الواحد فحله إلى أضلاعه التي تركب منها بأن تقسمه على مخرج ما يظهر له من الكسور وتقسم خارجه كذلك حيث أمكن واحتجت إلى حله وهكذا إلى أن تصير أضلاعه بحيث يسهل القسمة منها فإن كان المسمّي الواحد قسمه من كلّ ضلع منها ثم اضف الأسماء بعضها إلى بعض، وإن كان المسمّي كأحد الأضلاع فاطرح نظيره منها كما عرفت، وإن كان أقل من كل منها فسمه من أحدهما وسم الواحد من باقيها واضف أحد الأسمين إلى الآخر، وإن كان مركبا من ضرب بعضها في بعض فاسقط منها نظير ما تركب منه وسم الواحد من بقية الأضلاع وإلا فاقسمه على أحدها فإن صح قسمة عليه فاطرح ذلك الضلع واعتبر الخارج كأنه المسمى لأن الضلع الذي وقع عليه الكسر مع بقية الأضلاع على الذي صح عليه القسم قبله، كأنه جملة الأضلاع المسمى منه، وركب الأسماء بالعطف بعد تلخيصها وتقربيها وتجنيسها، فلو كان المسمى منه مائة وخمسة فأضلاعه ثلاثة وخمسة وسبعة، فإن كان المسمى الواحد فسمه من الثلاثة يكن ثلثا، ومن الخمسة يكن خمسا، ومن السبعة يكن سبعا، واضف الأسماء الثلاثة بعضها إلى بعض يكن الجواب ثلث خمس سبع، ولو كان المسمى ثلاثة فاطرح نظيرها وسم الواحد من الباقيين كما عرفت وقل خمس سبع، أو كان خمسة فاطرح نظيرها وسم الواحد من الباقيين تقل ثلث سبع، أو كان سبعة فاطرح نظيرها من الباقين، وقل ثلث خمس ولو كان المسمى اثنين فسمه من الثلاثة يكن ثلثين وسم الواحد من الباقيين وأضف أحد الأسمين إلى الآخر يكن ثلثين خمس سبع ولو كان المسمى خمسة عشر فهو المركب من ثلاثة وخمسة، فاسقط نظيرهما وسم الواحد من السبعة فالجواب سبع، أو كان أحدى وعشرون فهو من ثلاثة وسبعة، فاطرح نظيرهما وسم الواحد من الخمسة يكن خمساً، أو كان خمسة وثلاثين فهو مركب من خمسة وسبعة فاطرح نظيرهما وسم الواحد من الثلاثة يكن ثلثا ولو كان المسمى ستين فاقسمه على ثلاثة يخرج عشرون فاطرح الثلاثة لصحة القسم عليها، واقسم العشرين على الخمسة يخرج أربعا فاطرح الخمسة أيضاً وسم الأربعة من السبعة يكن أربعة أسباع ولو كان المسمى أربعة وستين فاقسمه على الثلاثة تخرج أحد وعشرون وينكسر واحد واقسم الأحد وعشرين على الخمسة يخرج أربعة وينكسر واحد فسم الأربعة من السبعة يكن أربعة أسباع، وسم ثانيا من الخمس والسبعة كما عرفت يكن خمس سبع وسم الواحد المنكسر أولا من الأضلاع الثلاثة يكن ثلث خمس، فاعطف الأسماء الثلاثة بعضها إلى بعض يكن أربعة أسباع وخمس سبع وثلث خمس سبع، ولو قسمت الأحد والعشرين على سبعة لصح القسم وخرج ثلاثة فسمها من الخمسة تكن ثلاثة أخماس واعطف عليها اسم الواحد المنكسر أولا من الأضلاع الثلاثة يكن الجواب ثلاثة أخماس وثلث خمس سبع فقس على ذلك والامتحان بالضرب كما في العكس

باب في الكسور وهي النصف فالثلث فالربع فالخمس فالسدس فالسبع فالثمن فالتسع فالعشر، والعاشر الجزء وهو أعمها لأنه يعبر به عن الكسر المنطق، وهو ما يمكن التعبير عن حقيقته بغير لفظ الجزئيه، كقولنا في الواحد من الخمسة جزء من خمسة أجزاء من الواحد، وعن الكسر الأصم وهو ما لا يمكن التعبير عن حقيقته بغير لفظ الجزئية كالواحد من أحد عشر فلا يقال فيه تحقيقته سوى جزء من أحد عشر جزءاً من الواحد، ثم الكسر أربعة أقسام: - سواء كان منطقاً أم أصماً - مفرد ومكرر ومضاف ومعطوف، فالمفرد ما أسمه بسيط، والمكرر ما تعدد من المفرد، كثلثين وثلاثة أجزاء من أحد عشر، والمضاف ما تركب من اسمين أو أكثر بالأضافة، كثلث خمس وكجزء من أحد عشر جزءاً من جزء من ثلاثة عشر جزءاً من الواحد، وكنصف جزء من سبعة عشر جزءاً من الواحد، وكسدس ثمن تسع، والعطوف ما تركب بالواو من اسمين، وكجزء من أحد عشر وجزء من ثلاثة عشر جزاء من الواحد، وكنصف وجزء من سبعة عشر جزاء من الواحد، وكخمس وسدس وسبع.

فصل ومخرج الكسر عبارة عن أقل عدد يصح منه ذلك الكسر فمخرج المفرد من الآحاد بقدر ما في الواحد من أمثال ذلك المفرد فمخرج النصف اثنان لأن فيه بقدر ما في الواحد من الأنصاف ومخرج الجزء من أحد عشر كذلك ومخرج المكرر هو عين المفرد فمخرج الثلثين ثلاثة ومخرج ثلاثة أجزاء من أحد عشر جزءاً ومخرج المضاف ما يحصل من ضرب مخرج الكسر المضاف في مخرج المضاف إليه إن كان من اسمين فقط فخرج خمس الخمس خمسة وعشرون لأنه من ضرب خمسة في الخمسة ومخرج نصف السدس اثني عشر وهي الحاصلة من ضرب مخرج النصف في مخرج السدس ومخرج سدس الثمن ثمانية وأربعون لأنه من ضرب مخرج السدس في مخرج الثمن، فإن كان من أكثر من اسمين فاضرب فخارج تلك الاسماء بعضها في بعض.

فلو قيل كم مخرج سدس ثمن التسع فاضرب ستة في ثمانية والحاصل في تسعة فيكون أربعمائة واثنين وثلاثين، وأمّا المعطوف فاعلم قبله أن العددين إما متماثلان أن تساويا كخمسة وخمسة أو متداخلان إن افني أصغرهما أكبرهما كثلاثة وتسعة أو متوافقان إن افناهما عدد ثالث غير الواحد كالأربعة والستة أو متبايان إن لم يفنيهما إلا الواحد، كالاثنين والسبعة وإن المتماثلين يكتفي بأحدهما، وأن المتداخلين يكتفي بأكبرهما وأن المتوافقين يكتفي بضرب أحدهما في وفق الآخر وأن المتباينين بضرب أحدهما في الآخر فما حصل في كل حالٍ من الحالات أربع فهو أقل عدد ينقسم على كل من كان دينك العددين فإن المعطوف من تعاطف كسرين فخذ مخرجهما وحصل أقل عدد ينقسم على كل منهما كما عرفت فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل كم مخرج النصف والثمن فمخرج النصف اثنان والثمن ثمانية وهما متداخلان فأكبرهما هو الجواب.

ولو قيل كم مخرج السدس والثمن فخرج السدس ستة وهو يوافق مخرج الثمن بالنصف فيضرب أحدهما في نصف الآخر فما حصل فهو الجواب وذلك أربعة وعشرون.

فلو قيل كم مخرج الثلث والخمس فمخرج الثلث من ثلاثة والخمس من خمسة وهما متباينان، فاضرب أحدهما في الآخر فالجواب خمسة عشر، وإن كان الكسر المعطوف مركباً من تعاطف أكثر من اسمين، فخذ مخارجهما وانظر بين مخرجين منها وحصل أقل عدد ينقسم على كل منهما كما عرفت، فما كان فانظر بينه وبين مخرج ثالث وحصل أقل عدد ينقسم على كل منهما، فما كان فانظر بينه وبين المخرج الرابع، وهكذا إلى آخرها فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل كم مخرج الثلث والربع والخمس، فمخارج مفرداته ثلاثة وأربعة وخمسة، فانظر بين الثلاثة والأربعة وحصل أقل عدد ينقسم على كل منهما يكون اثني عشر، فانظر بينه وبين الخمسة وحصل أقل عدد ينقسم على كل منهما يكن ستين.

فلو قيل كم مخرج النصف والثلث والربع والخمس والسدس والسبع والثمن والتسع والعشر، فاطلب أقل عدد ينقسم على اثنين وثلاثة وأربعة وخمسة وستة وسبعة وثمانية وتسعة وعشرة، فما كان فهو المطلوب وذلك ألفان وخمسمائة وعشرون فقس على ذلك.

فصل إذا عرفت مخرج الكسر فخذ منه كسره المفروض فما كان فهو بسطه، فبسط النصف واحد أبدا، وبسط المكرر عدة تكراره أبدا بسط المضاف واحدا، ولم يكن في متضايفاته تكرر، وبسط المعطوف بحسب مأخذه، فبسط النصف واحد، لإنه نصف مخرجه، وبسط الثلثين اثنان لأنهما ثلثا مخرجهما، وبسط الثلث والخمس ثمانية لإن مخرجهما خمسة عشر وثلثها خسمة وخمسها ثلاثة ومجموعها ثمانية، وبسط النصف والثمن خمسة لإن مخرجهما ثمانية ونصفها أربعة وثمنها واحد ومجموعها خمسة ومخرج الثلث والخمس والسبعمائة وخمسة، وبسطها منه واحد وسبعون لإن ثلثه خمسة وثلاثون وخمسه أحد وعشرون وسبعه خمسة عشر ومجموعها ما ذكرناه، وإن كان مع الكسر صحيح نحو اثنين وربع أو ثلاثة وخمسين أو أربعة وثلث وسبع أو خمسة وثلث سبع، وأردت بسط الكسر الصحيح في مخرج ذلك الكسر يكن بسطه، فزد عليه بسط الكسر يكن المجتمع بسط الجميع، فاضرب الاثنين في المثال الأول في مخرج الربع، وزد على الحاصل وهو ثمانية بسط الربع يكن بسط الجميع تسعة، واضرب في المثال الثاني في الثلاثة في الخمسة، وزد على الحاصل وهو خمسة عشر بسط الخمسين فالجواب سبعة عشر، واضرب في المثال الثالث الأربعة في مخرج الثلث والسبع وهو أحد وعشرون، وزد على الحاصل وهو أربعة وثمانون بسط الثلث والسبع وهو عشرة فالجواب أربعة وتسعون، واضرب في المثال الرابع الخمسة في مخرج ثلث السبع وهو احد وعشرون، فزد على الحاصل وهو مائة وخمسة بسط ثلث السبع وهو واحد فالجواب مائة وستة فقس على ذلك

فصل في ضرب ما فيه الكسر فإن كان الكسر في أحد المضروبين فخذ مخرج الكسر وابسط جانب الكسر واضرب الحاصل في الصحيح المنفرد، واقسم الحاصل على المخرج فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل اضرب ثلثين وربعا في ثلاثة فالمخرج اثني عشر والبسط أحد عشر فاضربه في الثلاثة واقسم الحاصل وهو ثلاثة وثلاثون على الاثني عشر فالجواب اثنان وثلاثة أرباع.

فلو قيل اضرب ثلاثة وأربعة أخماس في سبعة فالمخرج خمسة والبسط تسعة عشر، فاضربه في السبعة واقسم الحاصل وهو مائة وثلاثة وثلاثون على الخمسة فالجواب ستة وعشرون وثلاثة أخماس، وإن كان الكسر في كلا المضروبين، فابسط كل جانب واضرب البسط في البسط والمخرج في المخرج واقسم مضروب البسطين على مضروب المخرجين اوسمه منه فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل اضرب نصفاً وثلثاً في ربع وخمس فمخرج النصف والثلث ستة وبسطه خمسة ومخرج الربع والخمس عشرون وبسطه تسعة، فاضرب الخمسة في التسعة والستة في العشرين وسم خمسة وأربعين من مائة وعشرين فالجواب ثلاثة أثمان.

فلو قيل اضرب اثنين ونصفاً في ثلاثة وثلث فمخرج الأول اثنان وبسطه خمسة ومخرج كسر الثاني ثلاثة وبسطه عشرة فاضرب الخمسة في العشرة واقسم الحاصل وهو خمسون على ستة مضروب الاثنين في الثلاثة فالجواب ثمانية وثلث.

فلو قيل اضرب اثنين وربع في نصف وثلث فاضرب بسط الأول وهو تسعة في بسط الثاني وهو خمسة واقسم الحاصل وهو خمسة وأربعون على أربعة وعشرين مضروب أحد المخرجين في الآخر فالجواب واحد وسبعة أثمان فقس على ذلك.

فصل في قسمة ما فيه إذا كان الكسر المقسوم فقط أو المقسوم عليه فقط، فاضرب كلا من المقسوم والمقسوم عليه في مخرج الكسر واقسم حاصل المقسوم على حاصل المقسوم عليه اوسمه منه يكن المطلوب.

فلو قيل اقسم ثلاثة على نصف وثمن فالمخرج ثمانية فاضرب فيه كلا منهما، واقسم حاصل المقسوم وهو أربعة وعشرون على المقسوم عليه وهو خمسة، فالجواب أربعة وأربعة أخماس ولو عكس فسم الخمسة من الأربعة والعشرين فالجواب ثمن وثلثاً ثمن

فلو قيل اقسم خمسة وربعاً على ثلاثة فالمخرج أربعة، فاضرب فيه كل واحد منهما، واقسم حاصل المقسوم وهو أحد وعشرون على حاصل المقسوم عليه وهو اثنا عشر فالجواب واحد وثلاثة أرباع، فلو عكس فسم الاثني عشر من الواحد والعشرين فالجواب أربعة أسباع، فإذا كان الكسر في كليهما، فابسط كل جانب منهما واضرب كل واحد من البسطين في مخرج كسر الآخر، واقسم حاصل المقسوم على حاصل المقسوم عليه واسمه منه فما كان فهو المطلوب.

فلو قيل أقسم نصفاً وثلثاً على ثلاثة أخماس، فاضرب بسط المقسوم في مخرج المقسوم عليه وبسط الثاني في مخرج النصف والثلث، واقسم الحاصل الأول وهو خمسة وعشرون حاصل الثاني وهو ثمانية عشر فالجواب واحد وثلث ونصف تسع.

فلو قيل اقسم ثلاثةً وثلثاً على اثنين وربع فاضرب بسط المقسوم، وهو عشرة في أربعة مخترج الربع وبسط الآخر وهو تسعة في ثلاثة مخرج الثلث واقسم الحاصل الأول وهو أربعون على الثاني وهو سبعة وعشرون فالجواب واحد وأربعة أتساع وثلث تسع.

فلو قيل اقسم ثلاثةً وثلث على نصف وثلث، فاضرب بسط المقسوم في ست، وبسط المقسوم عليه في ثلاثة، واقسم الحاصل الأول وهو ستون على الحاصل الثاني وهو خمسة عشر فالجواب أربعة، ولو عكس قسم الخمسة عشر من الستين فالجواب ربع، وعلى هذا القياس، وإن شئت فانسب الخمسة عشر إلى الستين تكن ربعاً وهو الجواب وهذا أسهل.

وفي هذا القدر كفاية، لمن وفقه الله تعالى، وبالله التوفيق، ومن أراد الزيادة على ذلك فعليه بالوسيلة فإنها من أحسن المصنفات في هذا الفن، فعليك بها تظفر بالمراد، وبالله التوفيق، والحمد لله وحده، وصلى الله على من لا نبي بعده محمد الله وعونه وحسن توفيقه والحمد لله رب العالمين.